专题限时集训(七)A[第7讲解三角形](时间：45分钟)1．在△ABC中，若A＝60°，BC＝4，AC＝4，则角B的大小为()A．30°B．45°C．135°D．45°或135°2．在△ABC中，已知AB＝2BC＝4，A＝30°，则△ABC的面积为()A．1B.C．2D．23．已知向量p＝(cosA，sinA)，q＝(－cosB，sinB)，若A，B，C是锐角△ABC的三个内角，则p与q的夹角为()A．锐角B．直角C．钝角D．以上都不对4．如图7－1，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()图7－1A．50mB．50mC．25mD.m5．已知△ABC的面积为，AC＝，∠ABC＝，则△ABC的周长等于()A．3＋B．3C．2＋D.6．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝80，b＝100，A＝30°，则此三角形()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形7．在斜△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝，则角A＝()A.B.C.D.8．如图7－2，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，则sinC的值为()图7－2A.B.C.D.9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b2＋c2－bc＝a2，且AC·BA＝－4，则△ABC的面积等于________．图7－310．如图7－3，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在C测得塔顶A的仰角为60°，则塔的高度AB＝________m.11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2－cos2C＝，且c＝，则△ABC的面积的最大值为________．12．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求角A的大小；(2)求sinB＋sinC的最大值．13．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足cos＝，b＋c＝6.AB·AC＝3.(1)求a的值；(2)求的值．14．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若函数f(x)＝x2＋mx－为偶函数，且f＝0.(1)求角B的大小；(2)若△ABC的面积为，其外接圆半径为，求△ABC的周长．专题限时集训(七)A【基础演练】1．B[解析]在△ABC中，若A＝60°，BC＝4，AC＝4，由正弦定理得：＝，代入解得sinB＝.又AC0，所以p，q的夹角为锐角．4．A[解析]在△ABC中，由正弦定理得＝，AB＝50m.【提升训练】5．A[解析]设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，利用三角形面积公式和余弦定理得：b＝，ac＝，3＝a2＋c2－2ac×，所以3＝(a＋c)2－3ac得a＋c＝3，即△ABC的周长等于3＋.6．C[解析]由正弦定理，得＝，即＝，解得sinB＝∈，所以B∈或B∈.当B∈时，A＋B∈，则C∈，故△ABC是钝角三角形；当B∈时，△ABC也是钝角三角形．综上，△ABC一定是钝角三角形．故选C.7．B[解析] ＝＝－2cosB，＝，∴－2cosB＝， △ABC为斜三角形，∴cosB≠0，∴sin2A＝1， A∈(0，π)，∴2A＝，A＝.8．D[解析]设BD＝a，则由题意可得：BC＝2a，AB＝AD＝a，在△DAB中，由余弦定理得：cosA＝＝＝，所以sinA＝＝.在△ABC中，由正弦定理得，＝，所以＝，解得sinC＝，故选D.9．2[解析]根据余弦定理可得cosA＝＝，故A＝.由AC·BA＝－4，可得bccos120°＝－4，得bc＝8.所以S＝bcsinA＝2.10．15[解析]在△BCD中，根据正弦定理得BC＝＝＝15.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan∠ACB＝15×tan60°＝15.11.[解析]因为4sin2－cos2C＝，所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1＝，2＋2cosC－2cos2C＋1＝，即cos2C－cosC＋＝0，解得cosC＝.由余弦定理得cosC＝＝，ab＝a2＋b2－7≥2ab－7，ab≤7.(当且仅当a＝b＝时，“＝”成立)从而S＝absinC≤·7·＝，即S的最大值为.12．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－，A＝120°.(2)由(1)得：sinB＋sinC＝sinB＋sin(60°－B)＝cosB＋sinB＝sin(60°＋B)． 0°
