一、选择题1．(原创题)如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a＝(0,2,1)，b＝(，，)，那么这条斜线与平面的夹角是()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：选D.cosθ＝＝，因此a与b的夹角为30°.从而可得斜面与平面的夹角为30°.2.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF、C1E与AB所成的角分别为α、β，则α＋β等于()A．120°B．60°C．75°D．90°解析：选D.建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则B(2,0,0)，A(2,2,0)，G(0,0,1)，F(1,1,0)，C1(0,0,2)，E(1,2,1)．则BA＝(0,2,0)，GF＝(1,1，－1)，C1E＝(1,2，－1)，∴cos〈BA，GF〉＝，cos〈BA，C1E〉＝，∴cosα＝，sinα＝，cosβ＝，sinβ＝，∴α＋β＝90°，故选D.3．(2010·高考大纲全国卷Ⅰ)正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：选D.如图，连接BD交AC于O，连接D1O.由于BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即为所求．设正方体的棱长为1，则DD1＝1，DO＝，D1O＝，∴cos∠DD1O＝＝＝.∴BB1与平面ACD1所成角的余弦值为.4．直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，M是CC1的中点，则异面直线AB1与A1M所成的角为()A．60°B．45°C．30°D．90°解析：选D.建立坐标系如图所示，易得M(0,0，)，A1(0，，0)，A(0，，)，B1(1,0,0)，∴AB1＝(1，－，－)，A1M＝(0，－，)．∴AB1·A1M＝1×0＋3－＝0，∴AB1⊥A1M.即AB1⊥A1M.5．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是()A.B.C.D.解析：选C.如图建立坐标系Dxyz，则A1(2,0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)，AD1＝(－2,0,4)，AB1＝(0,2,4)，AA1＝(0,0,4)，设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则即解得x＝2z且y＝－2z，不妨设n＝(2，－2,1)，设点A1到平面AB1D1的距离为d，则d＝＝，故选C.二、填空题6．(2012·漳州调研)长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为__________．解析：建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，∴BC1＝(－1,0,2)，AE＝(－1,2,1)，∴cos〈BC1，AE〉＝＝.答案：7.如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为________．解析：不妨设正三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系(x轴垂直于AB)，则C(0,0,0)，A(，－1,0)，B1(，1,2)，D(，－，2)，则CD＝(，－，2)，CB1＝(，1,2)．设平面B1DC的法向量为n＝(x，y,1)，由解得n＝(－，1,1)．又 DA＝(，－，－2)，∴sinθ＝|cos〈DA，n〉|＝.答案：8.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，则二面角C1－AB－C的余弦值为__________．解析：如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，AC1＝(0,1,2)，AB＝(，，0)．设n＝(x，y，z)为平面ABC1的法向量，则取n＝(－，2，－1)，同理取m＝(0,0,1)作为平面ABC的法向量．则cos〈m，n〉＝－＝－.∴二面角C1－AB－C的余弦值为.答案：三、解答题9．(2010·高考天津卷)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB∶AD∶AA1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；(2)证明AF⊥平面A1ED；(3)求二面角A1－ED－F的正弦值．解：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点．设AB＝1，依题意得D(0,2,0)，F(1,2,1)，A1(0,0,4)，E(1，，0)．(1)易得EF＝(0，，1)，A1D＝(0,2，－4)，于是cos〈EF，A1D〉＝＝－.所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为.(2)证明：易知AF＝(1,2,1)，EA1＝(－1，－，4)，ED＝(－1，，0)，于是AF·EA1＝0，AF·ED＝0.因此，AF⊥EA1，AF⊥ED.又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED.(3)设平面EFD的法向量u＝(x，y，z)，则即不妨令x＝1，可得u＝(1,2，－1)，由(2)可知，AF为平面A1ED的一个法向量，于是cos〈u，AF〉＝＝，从而sin〈u，AF〉＝.所以二面角A1－ED－F的正弦值为.10．四棱锥P－ABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示．(1)写出四...
