1．(2012·福州质检)如图，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图所示．(1)求证：BC⊥平面ACD；(2)求BC与平面ABD所成角θ的正弦值．解：(1)证明：由已知有AC＝BC＝2，从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC.取AC中点O，连结DO，则DO⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，DO⊂平面ACD，从而DO⊥平面ABC，∴DO⊥BC.又AC⊥BC，AC∩DO＝O，∴BC⊥平面ACD.(2)建立空间直角坐标系O－xyz，如图所示，则A(，0,0)，B(－，2，0)，C(－，0,0)，D(0,0，)，AB＝(－2，2，0)，AD＝(－，0，)，BC＝(0，－2，0)．设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)．则由得令x＝1，则n＝(1,1,1)，∴sinθ＝＝＝.2．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC＝AC＝2，D为AC的中点．(1)求证：AB1∥面BDC1；(2)若AA1＝3，求二面角C1－BD－C的余弦值；(3)若在线段AB1上存在点P，使得CP⊥面BDC1，试求AA1的长及点P的位置．解：(1)证明：连结B1C，交BC1于点O，连结OD，则O为B1C的中点，∵D为AC的中点，∴OD∥AB1，又AB1⊄平面BDC1，OD⊂平面BDC1，∴AB1∥平面BDC1.(2)∵AA1⊥平面ABC，BC⊥AC，AA1∥CC1，∴CC1⊥平面ABC，则BC⊥平面AA1C1C，CC1⊥AC.如图建立空间直角坐标系，则C1(3,0,0)，B(0,0,2)，D(0,1,0)，C(0,0,0)．∴C1D＝(－3,1,0)，C1B＝(－3,0,2)．设平面C1DB的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝2，则n＝(2,6,3)．又平面BDC的法向量为CC1＝(3,0,0)，∴二面角C1－BD－C的余弦值为cos〈CC1，n〉＝＝＝.(3)设AA1＝a，AP＝λAB1，则AP＝(λa，－2λ，2λ)，∴CP＝CA＋AP＝(λa,2－2λ，2λ)．又C1D＝(－a,1,0)，BD＝(0,1，－2)，CP⊥平面BDC1，∴解得a＝2(－2舍去)，λ＝.所以AA1＝2，点P在线段AB1上且AP＝AB1.
