一、选择题1．函数y＝xsinx＋cosx在下面哪个区间内是增函数()A．(，)B．(π，2π)C．(，)D．(2π，3π)解析：选C.y′＝(xsinx＋cosx)′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，当x∈(，)时，恒有xcosx>0.∴原函数的增函数．故选C.2．函数f(x)＝x2－2lnx的单调减区间是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－1,1)解析：选A. f′(x)＝2x－＝(x>0)，∴当x∈(0,1)时f′(x)<0，f(x)为减函数，当x∈(1，＋∞)时f′(x)>0，f(x)为增函数，∴选A.3．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是()A．a<－1B．a>－1C．a>－D．a<－解析：选A.由y′＝(ex＋ax)′＝ex＋a＝0得ex＝－a，即x＝ln(－a)>0⇒－a>1⇒a<－1.4．(2012·漳州调研)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()解析：选D.由函数f(x)单调递增时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递减时，f′(x)≤0，再结合各选项的图象知D不正确．5．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)＝0,且x＞0时，恒有＞0，则不等式f(x)>0的解集是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－1,0)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(1，＋∞)解析：选D.令F(x)＝，由题意知F′(x)＝′＞0，故F(x)在(0，＋∞)为增函数，且F(x)为R上偶函数．而f(1)＝0，而f(x)>0可化为x·>0，结合图象分析可得解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．二、填空题6．(2012·宁德调研)已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时，有极大值3，则2a＋b＝________.解析：y′＝3ax2＋2bx，依题意解得a＝－6，b＝9，所以2a＋b＝－3.答案：－37．若函数y＝a在区间(－1,1)上为减函数，则a的取值范围是________．解析：y′＝a(x2－1)， 函数在(－1,1)上为减函数，∴y′≤0在(－1,1)上恒成立． x2－1<0，∴a≥0.当a＝0时，函数为常数函数，不合题意，∴a>0.答案：(0，＋∞)8．函数y＝f(x)在其定义域上可导，若y＝f′(x)的图象如图，①f(x)在(－2,0)上是减函数；②x＝－1时，f(x)取得极小值；③x＝1时，f(x)取得极小值；④f(x)在(－1,1)上为减函数，在(1,2)上是增函数．其中正确的判断是________．解：注意这是导函数的图象，由图易知f(x)在(－2,0)上是先增后减；x＝－1时，f(x)取得极大值；所以①②错．③④正确．答案：③④三、解答题9．求下列函数的单调区间和极值．(1)f(x)＝＋3lnx；(2)f(x)＝x2e－x.解：(1)函数f(x)＝＋3lnx的定义域为(0，＋∞)，因为f′(x)＝－＋＝，令f′(x)＝0得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值3↗函数f(x)的单调递减区间是：(0,1)；单调递增区间是：(1，＋∞)因此当x＝1时，f(x)有极小值，并且f(1)＝3；无极大值(2)函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝2xe－x＋x2e－x(－x)′＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘极小值↗极大值↘从表中可以看出，函数f(x)的单调递减区间是：(－∞，0)，(2，＋∞)；单调递增区间是：(0,2)当x＝0时，函数f(x)有极小值，且f(0)＝0；当x＝2时，函数f(x)有极大值，且f(2)＝.10．(2010·高考北京卷)设函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.(1)当a＝3且曲线y＝f(x)过原点时，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点，求a的取值范围．解：由于f′(x)＝ax2＋2bx＋c，则f′(x)－9x＝0同解于ax2＋2bx＋c－9x＝0.依题意(*)．(1)易知d＝0，当a＝3时，(*)式可化为，解得.∴f(x)＝x3－3x2＋12x.(2)由于a＞0，所以“函数f(x)在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b＝9－5a，c＝4a，又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)．由得1≤a≤9，即a的取值范围是[1,9]．一、选择题1．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如下图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()解析：选D.由图知，当x∈(0，＋∞)时，y＝f(x)、y＝g(x)的导函数均大于0，所以y＝f(x)，y＝g(x)的图象在x∈(0，＋∞)上单调递增，四个选项均符合．又当x∈(0，＋∞)时...
