一、选择题1．(2012·福州调研)一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－t2＋2t，那么速度为零的时刻是()A．0秒B．1秒末C．2秒末D．1秒末和2秒末解析：选D.令s′＝t2－3t＋2＝0，则t＝1或2.故选D.2．以长为10的线段AB为直径作圆，则它的内接矩形面积的最大值为()A．10B．15C．25D．50解析：选D.设矩形的长和宽分别为x、y，面积为S.则S＝xy.又因为矩形内接于圆，则x2＋y2＝102＝100.所以S＝x，S2＝x2(100－x2)＝100x2－x4，令S2′＝0，则x2＝50.所以当x2＝50时，S＝502，所以S最大＝50.故选D.3．(2012·泉州质检)函数y＝lnx－x在x∈(0，e]上的最大值为()A．eB．1C．－1D．－e解析：选C.函数y＝lnx－x的定义域为(0，＋∞)，又y′＝－1＝，令y′＝0得x＝1，当x∈(0,1)时，y′>0，函数单调递增，当x∈(1，e]时，y′<0，函数单调递减．当x＝1时，函数取得最大值－1，故选C.4．如图是二次函数f(x)＝x2－bx＋a的部分图象，则函数g(x)＝lnx＋f′(x)的零点所在的区间是()A.B.C．(1,2)D．(2,3)解析：选B. ⇒b∈(1,2)∴⇒g(x)在上有一零点．选B.5．球的直径为d，其内接正四棱柱体积V最大时的高为()A.dB.dC.dD.d解析：选C.设正四棱柱的高为h，底面边长为x，如图是其组合体的轴截面图形，则AB＝x，BD＝d，AD＝h， AB2＋AD2＝BD2，∴2x2＋h2＝d2，∴x2＝.又V＝x2·h＝＝(d2h－h3)，∴V′(h)＝d2－h2，令V′(h)＝0，得h＝d或h＝－d(舍去)，应选C.二、填空题6．若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则a的取值范围是________．解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，因为f(x)既有极大值又有极小值，所以3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0有两个不同的实数解．所以Δ＝4a2－4(a＋2)>0，即a2－a－2>0,所以a>2或a<－1.答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)7．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x(吨)与每吨产品的价格P(元)之间的关系式为P＝24200－x2，且生产x吨的成本为R＝50000＋200x元，则当利润达到最大时，该厂每月应生产________吨产品．解析：当月产量为x吨时利润为f(x)＝x－(50000＋200x)＝－x3＋240000x－50000(x≥0)，f′(x)＝－x2＋24000.令f′(x)＝0，解得x1＝200，x2＝－200.(舍去)．因为f(x)在[0，＋∞)内只有一个极大值点x＝200，故它就是最大值点．答案：2008．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．解析：f′(x)＝＝，当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当－0，f(x)单调递增，当x＝时，令f(x)＝＝，＝<1，不合题意．∴f(x)max＝f(1)＝＝，解得a＝－1.答案：－1三、解答题9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在区间[－3,1]上的最大值和最小值．解：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0.①当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′()＝0，可得4a＋3b＋4＝0.②由①②解得a＝2，b＝－4.由于切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝3×1＋1＝4，∴1＋a＋b＋c＝4，∴c＝5.(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4x－4，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝.当x变化时，y′、y的取值及变化如下表：x－3(－3，－2)－2(－2，)(，1)1y′＋0－0＋y8单调递增13单调递减单调递增4∴y＝f(x)在区间[－3,1]上的最大值为13，最小值为.10．已知函数f(x)＝ax＋－3lnx.(1)当a＝2时，求f(x)的最小值；(2)若f(x)在[1，e]上为单调函数，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)＝2x＋－3lnx，f′(x)＝2－－＝，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－( x>0，∴舍去负值)．列表：x(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)5－3ln2∴当a＝2时，函数f(x)的最小值为5－3ln2.(2) f′(x)＝，令h(x)＝ax2－3x－a＝a(x－)2－，要使f(x)在[1，e]上为单调函数，只需f′(x)在[1，e]内满足：f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，且等号只在孤立的点取得． h(1)＝－3<0，∴h(e)＝ae2－3e－a≤0，∴a≤.①当0≤a≤时，f′(x)≤0恒成立．②当a<0时，x＝∉[1，e]，∴h(x)<0(x∈[1，e])，∴f′(x)<0，符合题意．综上可知，当a≤时，f(x)在[1，e...
