一、选择题1．已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是()A．2B．2C．4D．5解析：选C. ＋＋2≥＋2≥2＝4.当且仅当时，等号成立，即a＝b＝1时，不等式取最小值4.2．下列函数中，最小值为4的函数是()A．y＝x＋B．y＝sinx＋(01，y>1，且lnx，，lny成等比数列，则xy()A．有最大值eB．有最大值C．有最小值eD．有最小值解析：选C. x>1，y>1，且lnx，，lny成等比数列，∴lnx·lny＝≤2，∴lnx＋lny≥1⇒xy≥e.4．(2011·高考陕西卷)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是()A．a＜b＜＜B．a＜＜＜bC．a＜＜b＜D.＜a＜＜b解析：选B. 0＜a＜b，∴a＜＜b，A、C错误；－a＝(－)＞0，即＞a，故选B.5．(2012·北京海淀区质检)设x，y∈R，则“x2＋y2≤1”是“|x|＋|y|≤”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A. 2|x||y|≤|x|2＋|y|2＝x2＋y2≤1，∴(|x|＋|y|)2＝x2＋2|x||y|＋y2≤2.∴|x|＋|y|≤.取x＝0，y＝，不满足x2＋y2≤1，故是充分不必要条件．二、填空题6．若x>0，y>0且xy＝4，则x2＋y2的最小值为________，x＋y的最小值为________．解析：x2＋y2≥2xy＝8；x＋y≥2＝4.答案：847．已知a、b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则＋≥m，恒成立的实数m的最大值是________．解析：＋＝(a＋b)＝2＋＋≥4.所以＋的最小值为4,m≤＋恒成立，m的最大值是4.答案：48．(2011·高考浙江卷)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．解析：由x2＋y2＋xy＝1，得1＝(x＋y)2－xy，∴(x＋y)2＝1＋xy≤1＋，解得－≤x＋y≤，∴x＋y的最大值为.答案：三、解答题9．(1)当x<1，求函数f(x)＝的最大值；(2)当点(x，y)在直线x＋3y－4＝0上移动时，求表达式3x＋27y＋2的最小值；(3)已知x，y都是正实数，且x＋y－3xy＋5＝0，求xy的最小值．解：(1) x<1，∴设t＝1－x>0.∴f(t)＝＝＝＝－＋3. t＋≥2，∴f(t)≤－2＋3.当且仅当t＝时取等号，即t＝，x＝1－，∴函数f(x)＝的最大值为－2＋3.(2)由x＋3y－4＝0得x＋3y＝4，∴3x＋27y＋2＝3x＋33y＋2≥2·＋2＝2·＋2＝2·＋2＝20，当且仅当3x＝33y且x＋3y－4＝0，即x＝2，y＝时取“＝”．(3)由x＋y－3xy＋5＝0得x＋y＋5＝3xy.∴2＋5≤x＋y＋5＝3xy.∴3xy－2－5≥0，∴(＋1)(3－5)≥0，∴≥，即xy≥，等号成立的条件是x＝y.此时x＝y＝，故xy的最小值是.10．已知：a，b是正常数，x,y∈(0，＋∞)，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a、b的值．解： x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2，当且仅当bx2＝ay2时等号成立．∴x＋y的最小值为a＋b＋2＝18.又a＋b＝10.①∴2＝8,∴ab＝16.②由①②可得a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.一、选择题1．(2010·高考四川卷)设a>b>0，则a2＋＋的最小值是()A．1B．2C．3D．4解析：选D.a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4，当且仅当a(a－b)＝1且ab＝1，即a＝，b＝时取等号．2．(2012·三明市三校联考)已知M是△ABC内的一点，且AB·AC＝2，∠BAC＝60°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则＋的最小值为()A．20B．18C．16D．9解析：选B.由AB·AC＝2，∠BAC＝60°，则△ABC的面积为1.则＋x＋y＝1，即x＋y＝，＋＝(2x＋2y)＝10＋＋≥18.当且仅当＝，即y＝2x时，即x＝，y＝时取等号.二、填空题3．当a＞0，a≠1时，函数f(x)＝loga(x－1)＋1的图象恒过定点A，若点A在直线mx－y＋n＝0上，则4m＋2n的最小值是________．解析：A(2,1)，故2m＋n＝1.∴4m＋2n≥2＝2＝2.当且仅当4m＝2n，即2m＝n，即n＝，m＝时取等号．∴4m＋2n的最小值为2.答案：24．若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时取等号．利用以上结论，可以得到函数f(x)＝＋的最小值为________，取最小值时x的值为________．解析：f(x)＝＋≥＝25.当且仅当＝，即x＝时上式取最小值，即f(x)min＝25.答案：25三、解答题5．是否存在常数c，使得不等式＋≤c≤＋对任意正实数x，y恒成立？证明你...
