一、选择题1．(2012·厦门调研)在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()A.B.C.D.解析：选C.由a1＝，Sn＝n(2n－1)an，得S2＝2(2×2－1)a2，即a1＋a2＝6a2，∴a2＝＝，S3＝3(2×3－1)a3，即＋＋a3＝15a3.∴a3＝＝，a4＝.故选C.2．一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于()A．一切正整数命题成立B．一切正奇数命题成立C．一切正偶数命题成立D．以上都不对解析：选B.本题证的是对n＝1,3,5,7，…命题成立，即命题对一切正奇数成立．3．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程中，第二步假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，则n＝k＋1时应得到()A．1＋2＋22＋…＋2k－2＋2k－1＝2k＋1－1B．1＋2＋22＋…＋2k＋2k＋1＝2k－1－1＋2k＋1C．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＋1＝2k＋1－1D．1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k解析：选D.由n＝k到n＝k＋1等式的左边增加了一项，故选D.4．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为()A．a＝，b＝c＝B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝D．不存在这样的a、b、c解析：选A. 等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即整理得解得a＝，b＝c＝.5．(2012·福州质检)下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是()A．6＋6·7kB．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1)D．3(2＋7k)解析：选D.(1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．(2)假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.这就是说，k＝n＋1时命题也成立．由(1)(2)知，命题对k∈N*成立．二、填空题6．用数学归纳法证明当n∈N*时1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数时，当n＝1时原式为________，从k→k＋1时需增添的项是____________．解析：把n＝k，n＝k＋1相比较即可得出．答案：1＋2＋22＋23＋2425k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋47．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是________．解析：当n＝k(k∈N*)时，左式为(k＋1)(k＋2)…(k＋k)；当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)，则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1)．答案：2(2k＋1)8．(2012·三明调研)在各项为正数的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝(an＋)，则a3＝__________，猜想数列{an}的通项公式为________．解析：由Sn＝(an＋)可计算出a1＝1，a2＝－1，a3＝－.由a1，a2，a3可归纳猜想出an＝－.答案：－－三、解答题9．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解：(1)a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，由此猜想an＝(n∈N*)．(2)证明：①当n＝1时，a1＝1，结论成立．②假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，即ak＝，那么n＝k＋1(k∈N*)时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1.∴2ak＋1＝2＋ak.∴ak＋1＝＝＝，这表明n＝k＋1时，结论成立．由①②知，对n∈N*，都有an＝成立．10．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．解：当n＝1时，21＋2＝4＞n2＝1，当n＝2时，22＋2＝6＞n2＝4，当n＝3时，23＋2＝10＞n2＝9，当n＝4时，24＋2＝18＞n2＝16，由此可以猜想，2n＋2＞n2(n∈N*)成立．下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边＞右边，所以原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边＞右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边＞右边．②假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2＞k2.那么n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2＞2·k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2＞(k＋1)2成立．根据①和②可知结论成立．一、选择题1．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现已知当...
