1．(2012·三明调研)在抛物线y＝4x2上求一点，使该点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是________．解析：设与y＝4x－5平行的直线方程为y＝4x＋b，当直线y＝4x＋b与y＝4x2相切时，切点到直线y＝4x－5的距离最短．由，得4x2－4x－b＝0.①Δ＝16＋16b＝0，∴b＝－1，代入①式得x＝，y＝4×()2＝1，故切点为(，1)．答案：(，1)2．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝|MN|，则∠NMF＝____________.解析：作NN′⊥l(l为准线)于N′，则|NN′|＝|NF|.又|NF|＝|MN|，∴|NN′|＝|MN|.∴∠NMN′＝60°，∴∠NMF＝30°.答案：30°3．已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程；(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有FA·FB＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么P(x，y)满足－x＝1(x＞0)，化简得y2＝4x(x＞0)．(2)经过点M(m,0)(m>0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线l的方程为x＝ty＋m，由得y2－4ty－4m＝0，Δ＝16(t2＋m)＞0，于是①又FA＝(x1－1，y1)，FB＝(x2－1，y2)，FA·FB＜0⇔(x1－1)(x2－1)＋y1y2＜0②又x＝，于是不等式②等价于·＋y1y2－＋1＜0⇔＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1＜0③由①式，不等式③等价于m2－6m＋1＜4t2④对于任意实数t,4t2的最小值为0，所以不等式④对一切t成立等于价于m2－6m＋1＜0，即3－2＜m＜3＋2.由此可见，存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有FA·FB＜0，且m的取值范围是(3－2，3＋2)．
