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(福建专用)高考数学总复习 第四章第3课时 平面向量的数量积及平面向量的应用举例随堂检测(含解析)VIP免费

(福建专用)高考数学总复习 第四章第3课时 平面向量的数量积及平面向量的应用举例随堂检测(含解析)_第1页
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1.(2012·福州调研)若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于()A.-B.C.D.解析:选C.因为2a+b=+=,a-b=,所以|2a+b|=3,|a-b|=3.设2a+b与a-b的夹角为θ,则cosθ===,又θ∈[0,π],所以θ=.2.设向量a=(cos25°,sin25°),b=(sin20°,cos20°).若t是实数,且u=a+tb,则|u|的最小值为()A.B.1C.D.解析:选C.u=a+tb=(cos25°+tsin20°,sin25°+tcos20°),所以|u|===,所以当t=-时,|u|取最小值.3.已知点A(1,1),B(1,-1),C(cosθ,sinθ)(θ∈R),O为坐标原点.(1)若|BC-BA|=,求sin2θ的值;(2)若实数m,n满足mOA+nOB=OC,求(m-3)2+n2的最大值.解:(1)∵|BC-BA|2=|AC|2=(cosθ-1)2+(sinθ-1)2=-2(sinθ+cosθ)+4,∴-2(sinθ+cosθ)+4=2.即sinθ+cosθ=.两边平方,得1+sin2θ=,∴sin2θ=-.(2)法一:由已知,得(m,m)+(n,-n)=(cosθ,sinθ),∴解得∴(m-3)2+n2=m2+n2-6m+9=-3(sinθ+cosθ)+10=-6sin(θ+)+10.∴当sin(θ+)=-1时,(m-3)2+n2取得最大值16.法二:∵∴两式平方相加得:m2+n2=1.∴(m-3)2+n2可视为单位圆上的动点到(3,0)的距离的平方,由图易知单位圆上的点(-1,0)与(3,0)的距离最大,∴(m-3)2+n2取得最大值16.

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