第1页共13页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共13页超市服务方案的随机模型数学系01数本2001141120刘晨凡指导老师：周天明摘要：为了提高超市服务效率，我们根据超市顾客到达及服务问题的基本规律，建立了超市服务系统的随机模型，并由此得出最佳服务方案，并对所建立的模型进行仿真模拟，验证了所得模型的合理性。本方案可以用于超市服务方案的确定。关键词：随机摸拟；随机数字；随机变量；仿真摸拟；Poisson分布；指数分布；随机模型０、引言超级市场门口排列着若干收款台，顾客携带着采购的商品在收款台前排队等候验货付款。若在顾客少时，就能只接付款离开；若在购物高峰期，顾客就得排队等待。作为顾客，我们所关心的是何时能付款后离开，作为超市又不可能为每一个顾客提供一个收款台，这样会花费大量的金钱，但是他会增开几个收款台使得排队的人数恢复到原来的水平。那么要增开几个这样的收款台才能即不多花钱又能使顾客第2页共13页第1页共13页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共13页不至于排队等太久呢？这就是本文所要探讨的。1、随机模型1.1基本假设：随机服务过程满足三个性质:顾客到达平稳性、独立增量性和普通性.根据排队付款问题我们就这三个性质做如下假设,并由此得到关于顾客到达时刻和服务时间的概率分布。①顾客到达平稳性：设在时间内到达顾客数只与时间间隔有关而与时间起点无关，若以记为在时间区间内到达个顾客的概率，则显然有：②独立增量性：在内来到个顾客这一事件与时刻以前发生的事件独立。③普通性：在充分小的时间间隔中，最多来到一个顾客，即，若记应有，即普通性表明，在同一时间来两个或两个以上顾客实际上几乎是不可能的，因此在后续的推导及计算时予以忽略。1.2主要结论引理1若是连续函数，且对一切有（1）则证明：由知对任意，因此非负。一直用（1）式，对任意正整数及实数有（2）在上式中取得以考虑（3）第3页共13页第2页共13页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共13页记，则，因此对于任意正整数及成立（4）这样，我们已证得（4）对一切有理数成立，再用利用无理数的性质及函数的连续性可以证明对无理数也成立，从而证明了引理。引理2：用表示内到达的顾客数，则服从参数为的Poisson分布，即。证明：对，考虑中来到个顾客的概率是，由独立性增量性及全概率公式得（5）特别地，表示在长度为的时间间隔中没有来顾客的概率，因此它关于单调下降，由引理知。其中，若，则，这说明不管怎么短的时间间隔内都要来顾客，这种情形不在我们考虑之列。此外，因是概率，故应有，而当时，，这表示不来顾客，也不是我们想要的，所以应有，从而存在使，因此当时，我们有，由（5）得，因此令得由于已知，故有，可解得，这样下去，可解得一切。第4页共13页第3页共13页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第4页共13页，，这正是参数为的分布。从而，在该区间内有一位顾客到达的概率为=，由基本假设(3)知没有顾客到达的概率是。引理3：若服从参数为的分布，若以T表示顾客到达的时间间隔，则T服从参数为的指数分布。证明：,而当时，因为在等待时间内没有顾客来，所以有，时，，所以即为服从参数为的指数分布函数的分布函数。又因为每个都为时间间隔,那么都满足为的指数分布.同理每一位顾客的服务时间服从参数为的指数分布。由上面的讨论有以下结论：①顾客接受服务时间为，由指数分布的无后效性，则在该区间有一位顾客接受完服务离去的概率为没有顾客离去的概率为。②多于一个顾客到达或离去的概率为，可以忽略。1.3随机模型：综上，在时刻，系统中有个顾客的概率满足第5页共13页第4页共13页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第5页共13页是由于假设时间内已有个顾客,那么就能解释为时间内有个顾客，内没一人来到也没一人离开的概率；即为一人到来一人离开的概率；为时间内已有个顾客，内没人到来，有一人离开的概率；为时间内已有个顾客，内有一人到达而没人离开。由此可以得到超市服务...
