习题3-1复摆重P，对质心的回转半径为C，质心距转动轴的距离为a，复摆由水平位置无初速地释放，列写复摆的运动微分方程。解:系统具有一个自由度，选复摆转角为广义坐标，原点及正方向如如题4-1图所示。复摆在任意位置下，根据刚体绕定轴转动微分方程OOMJ其中)(22agPJCO得到复摆运动微分方程为cos)(22PaagPC或0cos)(22gaaC3-2均质半圆柱体，质心为C，与圆心O1的距离为e，柱体半径为R，质量为m，对质心的回转半径为C，在固定平面上作无滑动滚动，如题3-2图所示，列写该系统的运动微分方程。解：系统具有一个自由度，选为广义坐标。半圆柱体在任意位置的动能为：222121CCJmvT用瞬心法求Cv：2222*2)cos2()(ReReCCvC2CCmJ故2222221)cos2(21CmReRemT系统具有理想约束，重力的元功为题3-1图题3-2图dmgeWsin应用动能定理的微分形式WdTdmgemReRemdCsin21)cos2(2122222dmgedmRedmRedRemCsinsincos2)(2222等式两边同除dt，sinsincos2)(2222mgemRemReRemC0，等式两边同除故微分方程为0sinsin)cos2(2222mgemReReRemC①若为小摆动sin，1cos，并略去二阶以上微量，上述非线性微分方程可线性化，系统微摆动的微分方程为0])[(22gerRC要点及讨论（1）本题也可以用平面运动微分方程求解。系统的受力图与运动分析图如图（b）所示。列写微分方程④③②sin)cos(2NeeRFmmgNymFxmCCC上述方程包含Cx，Cy，，F，N五个未知量，必须补充运动学关系才能求解。建立质心坐标与广义坐标之间的关系cossineRyeRxCC，sincoseyeRxCC所以⑥⑤22cossinsincoseeyeeRxCC运动学方程式⑤⑥与方程②③④联立，消去未知约束力N，F，就可以得到与式①相同的系统运动微分方程。因为在理想约束的情况下，未知约束力在动能定理的表达式中并不出现，所以用动能定理解决已知力求运动的问题更简便、直接。（2）本题也可用机械能守恒定律求解。系统的动能2222221)cos2(21CmReRemT选半圆柱体中心O1所在平面为零势面，系统的势能cosmgeV由EVTEmgemReRemCcos21)cos2(2122222两边对时间t求导数，即可得到与式①相同的运动微分方程。3-3均质杆AB，长l，质量为m，沿光滑墙面滑下，如题3-3图所示。设水平面也为光滑的。列写该系统的运动微分方程。题3-3图解：系统具有一个自由度，选为广义坐标。系统在任一位置的动能为222121CCJmvT由瞬心法求质心的速度2lvC，2121mlJC，所以223121mlT系统的主动力图为图（a）所示。重力的元功为dlmgdmWCsin2rg由动能定理WdT所以dsinlmg)ml(d2312122系统的运动微分方程为023??sinlg要点及讨论（1）平面运动刚体可用式2*21CJT计算刚体动能，式中2*mdJJCC为刚体对瞬心的转动惯量，d为质心与瞬心间的距离。在本题中质心的速度Cv也可用式222CCCyxv计算。其中cos2sin2lylxCCsin2cos2lylxCC（2）所谓广义坐标应包含坐标值（线位移或角位移）、坐标原点、坐标正方向。广义坐标的选择一般不是唯一的，例如在本题中也可选杆与水平线的夹角为广义坐标，正方向如图（b）所示（顺时针），广义坐标选定后其它运动量（位移及位移的一阶、二阶导数）都根据广义坐标确定（包括大小与正方向）。如质心C的位移与速度，正方向应如图所示，大小分别为2lvC，dldrC2系统的动能223121mlT主动力的元功dlmgWcos2根据动能定理建立的方程为dlmgmldcos2)3121(22所以cos23lg“—”号说明当取正值时为负，即反时针方向。（3）本题也可用平面运动微分方程求解，读者试列出方程。3-4如题3-4图所示，均质圆柱体质量为m，半径为r，沿倾斜角为的三角块作无滑动滚动，质量为M的三角块置于光滑的水平面上。列写该系统的运动微分方程。题3-4图解：系统具有两个自由度，选rxx、为广义坐标。系统具有理想约束，且在水平方向的外力为零，所以系统机械能守恒：EVT2222221111[(cos)(sin)]2222rrrxTMxmxxxmrr&&&&22221111cos2224rrrMxmxmxmxxmx&&&&&222131cos242rrMxmxmxmxx&&&&&sinrVmgx，水平方向动量守恒。CpxCxxmxMr)cos(整理后可分别列写两个方程EmgxxxmxmxmMrrrsincos2321)(2122①CxxmxMr)cos(②式中①②为系统微分方程的首次积分，对时间t求导后，即可得到系统运动微分方程。23()sin[1]02coscosmMgxm&&要点及讨论（1）在理想约束的情况下，动能定理建立...
