2020高考数学压轴题命题区间探究与突破专题第二篇三角与平面向量专题03“三法”解决平面向量数量积问题一．方法综述平面向量的数量积是高考考查的重点、热点，往往以选择题或填空题的形式出现.常常以平面图形为载体，借助于向量的坐标形式等考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同三角函数、解析几何等知识相结合，以工具的形式出现．由于命题方式灵活多样，试题内容活泼、新颖，因此，在高考试卷中备受青睐，是一个稳定的高频考点．解决这类问题有三种基本方法：投影法、基底法和坐标法．“三法”的准确定位应是并举！即不应人为地、凭主观划分它们的优劣，而应具体问题具体分析．本专题举例说明解答解决平面向量数量积问题的方法、技巧.二．解题策略类型一投影定义法【例1】【2020·山东寿光现代中学月考】如图，在平面四边形ABCD中，,,120,1,ABBCADCDBADABADo若点E为边CD上的动点，则AEBEuuuvuuuv的最小值为（）A．2116B．32C．2516D．3【答案】A【解析】连接BD,取AD中点为O,可知ABD△为等腰三角形，而,ABBCADCD，所以BCDV为等边三角形，3BD。设(01)DEtDCtuuuvuuuvAEBEuuuvuuuv223()()()2ADDEBDDEADBDDEADBDDEBDDEDEuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv=233322tt(01)t，所以当14t时，上式取最小值2116，选A.【指点迷津】1、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：向量,abrr数量积公式为cosababrrrr，可变形为cosababrrrr或cosabbarrrr，进而与向量投影找到联系（1）数量积的投影定义：向量,abrr的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即ababbrrrrr（记abrr为ar在br上的投影）（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：ababbrrrrr即数量积除以被投影向量的模长2、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点）（2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题【举一反三】【2020·海南文昌一中期末】在ABC中，22ABAC，,PQ为线段BC上的点，且BPPQQCuuuruuuruuur.若59APAQuuuruuur，则BAC（）A．150oB．120oC．60oD．30o【答案】B【解析】不妨设||||||,3BPPQQCxBCxuuuruuuruuur()()APAQABBPACCQABACBPACABCQBPCQuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur22252cos395cos18ABACBPACABBPBPBPABACBPBCBPBPABCxxABCxuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur由余弦定理：2419cos4xABC联立得到：73x1cos1202oABCABC，故选B类型二基底法【例2】【2020·赣州三中月考】在直角ABC中，M，N是斜边BC上的两个三等分点，已知ABC的面积为2，则AMANuuuuruuur的最小值为（）.A．153B．2155C．1615D．169【答案】D【解析】由题,设点M为斜边BC上靠近点B的三等分点,则121333AMABBMABBCABACuuuuruuuruuuuruuuruuuruuuruuur,112333ANACCNACBCABACuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur,所以2221122523333999AMANABACABACABABACACuuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur,因为直角ABCV,所以ABAC,则0ABACuuuruuur,因为122ABCSABACVuuuruuur,则4ABACuuuruuur,所以2228ABACABACuuuruuuruuuruuur,当且仅当2ABACuuuruuur时等号成立,所以216899AMANuuuuruuur,故选D【指点迷津】1.遇到几何图形中计算某两个向量,abrr数量积的问题，如果无法寻找到计算数量积的要素（,abrr模长，夹角），那么可考虑用合适的两个向量（称为基底）将,abrr两个向量表示出来，进而进行运算.这也是在几何图形中处理向量数量积的一个重要方法.2.如何选择“合适”的基底：题目中是否有两个向量模长已知，数量积可求呢？如果有，那就是它们了.所以在此类题目中首先可先确定那些向量的数量积与模长已知.常见的可以边所成向量作基底的图形有：等边三角形，已知两边的直角三角形，矩形，特殊角的菱形...
