1.2.1任意角的三角函数备课教师:刘德清、龙新荣、郭晓芳、刘世杰、王焕刚、沈良宏一、教学目标1、理解任意角的三角函数的定义;2、根据三角函数的定义,能够判断三角函数值的符号。二、教学重点与难点教学重点:任意角的三角函数的定义,以及运用定义判断三角函数值的符号;教学难点:任意角的三角函数概念的建构过程。三、教学过程(一)创设情境,导入新课活动1以摩天轮为情境,摩天轮是周而复始地逆时针转动的,从而引导学生从摩天轮中抽象出圆,而摩天轮上转动的小车厢就抽象为圆上的运动的点。问题①:若摩天轮转一周需360秒,那么一秒转多少度呢?问题②:有一个人坐在摩天轮的小车厢上,摩天轮圆心距离地面为Ho,半径为R,开始转动30秒后离地面高度是多少?【预设】学生根据初中已学的锐角三角函数知识以及生活经验,可以较快地得出答案。学生可能的答案有:H=Ho+?R;H=Ho+sin30°R;H=Ho+(PM/PO)R。设计意图:以生活实际问题解决为背景,引出任意角的三角函数概念,让学生感受到“数学是自然的”,“数学是有用的”,并鼓励学生去观察生活、思考生活。活动2再举例摩天轮转动45秒时,小车厢离地面的高度是多少?进而提问:若摩天轮转动了t秒,小车厢离地面的高度是多少呢?让学生观察,并提出猜想。【预设】学生通过观察、思考,提出猜想:摩天轮转动了t秒,则车厢离地面的高度为H=Ho+sint°R。活动3随着摩天轮的转动,角度也不知不觉地推广到了任意角,教师提出问题:刚才的猜想会合理吗?如果合理,那么该如何计算H=Ho+sin150°R呢?从而引出本节课的主题——任意角的三角函数。(二)启发诱导,探求新知(1)发现定义问题1:如何表示锐角角A的正弦?【预设】学生根据已学的锐角三角函数的知识,可能提出在角A的设计意图:先猜想再探究,是一种合情推理,使教学环节显得生动,同时感受到接下来新知识学习的必要性。此外,学生在观察、猜想的过程中,能体会到“从特殊到一般”的数学思想方法。终边上取一点P,作PM⊥AM,则sinA=PM/AP。问题2:P点怎么取,任意一点都可以吗?【预设】学生可能回答有:因为都是同一个角A,角度相同就比值相同;因为任意两个三角形相似。<教师活动>教师几何画板演示,随着P点的变化,sinA=PM/AP不变。问题3:哪些角的正弦值可以用sinA=PM/AP呢?【预设】学生可能的答案有:锐角;第一象限角。问题4:如果是第二象限角,该怎样定义它的正弦?任意角呢?<教师活动>教师自然地引入直角坐标系,引导学生观察、思考。【预设】情况一:有些思维敏捷的学生,可能通过观察,较快地发现,设P点的坐标为(x,y),则sinA=y/(x2+y2);情况二:有些学生可能受到锐角三角函数的思维限制,仍然认为sinA=PM/AP。<教师活动>针对情况一,教师首先肯定学生的答案,并顺着学生的思路,给出任意角的正弦的定义,并举例150°、210°,让学生验证猜想的准确性,在此过程中给予学生肯定与赞美;针对情况二,顺着学生的思路,举例150°、210°验证,学生发现sinA=PM/AP不符合第三、四象限角的情况,进而引导学生sinA=±PM/AP,能否用设计意图:通过几何画板的演示,可以更加生动形象地让学生体会到角A的正弦与P点的所在位置无关,这为后面借用单位圆定义任意角的三角函数奠定基础。一个量代替±PM,从而发现用坐标的比值来定义。(2)形成定义活动1学生通过观察图像,分析、归纳出任意角的正弦的定义:sina=y/(x2+y2),并通过类比的办法,定义出任意角的余弦、余切。教师引导学生P点在什么位置时,比值最简洁,学生通过观察,引入单位圆,便利用单位圆定义任意角的正弦、余弦、正切。活动2教师引导学生每一个a对应着唯一确定的正弦、余弦、正切,从而使学生建立三角函数模型。既然三角函数首先是函数,能否从函数观点解析三角函数(定义域)?学生通过自主思考或者小组讨论,归纳总结出正弦、余弦、正切函数的定义域。(三)应用拓展,深化知识例1求5π/3的正弦、余弦、正切设计意图:通过设置问题,步步引导学生发现、探求新知,让学生体会知识的发现过程,以及数形结合与从特殊到一般的数学思想,并培养学生勇于发现、敢于创新的思维品质。设计意图:学生通过...