第1页共2页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共2页利用函数与方程的思想解“希望杯”试题两例（王文新）第十一届“希望杯”数学邀请赛高一第1试的第5、第25题，体现了邀请赛的宗旨——提高学生的创新精神及高考应试能力。比较深入地考查了函数与方程的思想。现说明如下。题5定义域为R的函数f(x),g(x)都有反函数，并且函数f(x+1)和g−1(x-2)的图象关于直线y=x对称，若g(5)=1999，那么f(6)=()（A）1999。（B）2000。（C）2001。（D）2002。此题固然可由数形结合求解，但用函数与方程的思想求解更为准确迅速。解因为g(5)=1999，所以g−1(1999)=5,即g−1(2001-2)=5,即（2001，5）是方程y=g−1(x-2)的解。由f(x+1)与g−1(x-2)的图象关于直线y=x对称，可知f(x+1)与g−1(x-2)互为反函数。故点（2001，5）关于直线y=x的对称点（5，2001）在f(x+1)的图象上。即（5，2001）是方程y=f(x+1)的解，所以f(5+1)=2001，即f(6)=2001。选（C）。题25已知sinαcosβ=13,0≤α,β<2π,则sinαcosβ的取值范围是，cosαcosβ的取值范围是。此题若单纯用三角变换及不等式求解，则较麻烦，不妨转换成二次函数的最值问题。解由sinαcosβ=13,得sin2αcos2β=19,所以sin2α(1−sin2β)=19,sin2αsin2β=sin2α−19.设y=sin2αsin2β=sin2α−19,(−1≤sinα≤1),易知y=sin2α−19≤89,即|sinαsinβ|≤2√23,即−2√23≤sinαsinβ≤2√23.同理，由sin2αcos2β=19,可得(1−cos2α)cos2β=19,即有cos2αcosβ2=cos2β−19.易知−2√23≤cosαcosβ≤2√23.第2页共2页第1页共2页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共2页注第25题的原答案（0，2√23）有误，不妨取sinαsinβ=−13,由题设sinαcosβ=13,可得tanβ=−1,β取=3π4,则由sinαcosβ=3π4=13,可得sinα=−√23;取α=π+arcsin√23，显然满足0≤α；β<2π。
