第四十六讲同余式数论有它自己的代数,称为同余理论.最先引进同余的概念与记号的是数学王子高斯.先看一个游戏:有n+1个空格排成一行,第一格中放入一枚棋子,甲乙两人交替移动棋子,每步可前移1,2或3格,以先到最后一格者为胜.问是先走者胜还是后走者胜?应该怎样走才能取胜?取胜之道是:你只要设法使余下的空格数是4的倍数,以后你的对手若走i格(i=1,2,3),你走4-i格,即每一次交替,共走了4格.最后只剩4个空格时,你的对手就必输无疑了.因此,若n除以4的余数是1,2或3时,那么先走者甲胜;若n除以4的余数是0的话,那么后走者乙胜.在这个游戏里,我们可以看出,有时我们不必去关心一个数是多少,而要关心这个数用m除后的余数是什么.又例如,1999年元旦是星期五,1999年有365天,365=7×52+1,所以2000年的元旦是星期六.这里我们关心的也是余数.这一讲中,我们将介绍同余的概念、性质及一些简单的应用.同余,顾名思义,就是余数相同.定义1给定一个正整数m,如果用m去除a,b所得的余数相同,则称a与b对模m同余,记作a≡b(modm),并读作a同余b,模m.若a与b对模m同余,由定义1,有a=mq1+r,b=mq2+r.所以a-b=m(q1-q2),即m|a-b.反之,若m|a-b,设a=mq1+r1,b=mq2+r2,0≤r1,r2≤m-1,则有m|r1-r2.因|r1-r2|≤m-1,故r1-r2=0,即r1=r2.于是,我们得到同余的另一个等价定义:定义2若a与b是两个整数,并且它们的差a-b能被一正整数m整除,那么,就称a与b对模m同余.同余式的写法,使我们联想起等式.其实同余式和代数等式有一些相同的性质,最简单的就是下面的定理1.定理1(1)a≡a(modm).(2)若a≡b(modm),则b≡a(modm).(3)若a≡b(modm),b≡c(modm),则a≡c(modm).在代数中,等式可以相加、相减和相乘,同样的规则对同余式也成立.定理2若a≡b(modm),c≡d(modm),则a±c≡b±d(modm),ac≡bd(modm).证由假设得m|a-b,m|c-d,所以m|(a±c)-(b±d),m|c(a-b)+b(c-d),即a±c≡b±d(modm),ac≡bd(modm).由此我们还可以得到:若a≡b(modm),k是整数,n是自然数,则a±k≡b±k(modm),ak≡bk(modm),an≡bn(modm).对于同余式ac≡bc(modm),我们是否能约去公约数c,得到一个正确的同余式a≡b(modm)?在这个问题上,同余式与等式是不同的.例如25≡5(mod10),约去5得5≡1(mod10).这显然是不正确的.但下面这种情形,相约是可以的.定理3若ac≡bc(modm),且(c,m)=1,则a≡b(modm).证由题设知ac-bc=(a-b)c=mk.由于(m,c)=1,故m|a-b,即a≡b(modm).定理4若n≥2,a≡b(modm1),a≡b(modm2),…………a≡b(modmn),且M=[m1,m2,…,mn]表示m1,m2,…,mn的最小公倍数,则a≡b(modM).前面介绍了同余式的一些基本内容,下面运用同余这一工具去解决一些具体问题.应用同余式的性质可以简捷地处理一些整除问题.若要证明m整除a,只需证a≡0(modm)即可.例1求证:(1)8|(551999+17);(2)8(32n+7);(3)17|(191000-1).证(1)因55≡-1(mod8),所以551999≡-1(mod8),551999+17≡-1+17=16≡0(mod8),于是8|(551999+17).(2)32=9≡1(mod8),32n≡1(mod8),所以32n+7≡1+7≡0(mod8),即8|(32n+7).(3)19≡2(mod17),194≡24=16≡-1(mod17),所以191000=(194)250≡(-1)250≡1(mod17),于是17|(191000-1).例2求使2n-1为7的倍数的所有正整数n.解因为23≡8≡1(mod7),所以对n按模3进行分类讨论.(1)若n=3k,则2n-1=(23)k-1=8k-1≡1k-1=0(mod7);(2)若n=3k+1,则2n-1=2·(23)k-1=2·8k-1≡2·1k-1=1(mod7);(3)若n=3k+2,则2n-1=22·(23)k-1=4·8k-1≡4·1k-1=3(mod7).所以,当且仅当3|n时,2n-1为7的倍数.例3对任意的自然数n,证明A=2903n-803n-464n+261n能被1897整除.证1897=7×271,7与271互质.因为2903≡5(mod7),803≡5(mod7),464≡2(mod7),261≡2(mod7),所以A=2903n-803n-464n+261n≡5n-5n-2n+2n=0(mod7),故7|A.又因为2903≡193(mod271),803≡261(mod271),464≡193(mod271),所以故271|A.因(7,271)=1,所以1897整除A.例4把1,2,3…,127,128这128个数任意排列为a1,a2,…,a128,计算出|a1-a2|,|a3-a4|...