第四十六讲同余式数论有它自己的代数，称为同余理论．最先引进同余的概念与记号的是数学王子高斯．先看一个游戏：有n＋1个空格排成一行，第一格中放入一枚棋子，甲乙两人交替移动棋子，每步可前移1，2或3格，以先到最后一格者为胜．问是先走者胜还是后走者胜？应该怎样走才能取胜？取胜之道是：你只要设法使余下的空格数是4的倍数，以后你的对手若走i格(i=1，2，3)，你走4-i格，即每一次交替，共走了4格．最后只剩4个空格时，你的对手就必输无疑了．因此，若n除以4的余数是1，2或3时，那么先走者甲胜；若n除以4的余数是0的话，那么后走者乙胜．在这个游戏里，我们可以看出，有时我们不必去关心一个数是多少，而要关心这个数用m除后的余数是什么．又例如，1999年元旦是星期五，1999年有365天，365=7×52＋1，所以2000年的元旦是星期六．这里我们关心的也是余数．这一讲中，我们将介绍同余的概念、性质及一些简单的应用．同余，顾名思义，就是余数相同．定义1给定一个正整数m，如果用m去除a，b所得的余数相同，则称a与b对模m同余，记作a≡b(modm)，并读作a同余b，模m．若a与b对模m同余，由定义1，有a=mq1＋r，b=mq2+r．所以a-b=m(q1-q2)，即m｜a-b．反之，若m｜a-b，设a=mq1＋r1，b=mq2＋r2，0≤r1，r2≤m-1，则有m｜r1-r2．因｜r1-r2｜≤m-1，故r1-r2=0，即r1＝r2．于是，我们得到同余的另一个等价定义：定义2若a与b是两个整数，并且它们的差a-b能被一正整数m整除，那么，就称a与b对模m同余．同余式的写法，使我们联想起等式．其实同余式和代数等式有一些相同的性质，最简单的就是下面的定理1．定理1(1)a≡a(modm)．(2)若a≡b(modm)，则b≡a(modm)．(3)若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)．在代数中，等式可以相加、相减和相乘，同样的规则对同余式也成立．定理2若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．证由假设得m｜a-b，m｜c-d，所以m｜(a±c)-(b±d)，m｜c(a-b)＋b(c-d)，即a±c≡b±d(modm)，ac≡bd(modm)．由此我们还可以得到：若a≡b(modm)，k是整数，n是自然数，则a±k≡b±k(modm)，ak≡bk(modm)，an≡bn(modm)．对于同余式ac≡bc(modm)，我们是否能约去公约数c，得到一个正确的同余式a≡b(modm)？在这个问题上，同余式与等式是不同的．例如25≡5(mod10)，约去5得5≡1(mod10)．这显然是不正确的．但下面这种情形，相约是可以的．定理3若ac≡bc(modm)，且(c，m)=1，则a≡b(modm)．证由题设知ac-bc=(a-b)c=mk．由于(m，c)=1，故m｜a-b，即a≡b(modm)．定理4若n≥2，a≡b(modm1)，a≡b(modm2)，…………a≡b(modmn)，且M=[m1，m2，…，mn]表示m1，m2，…，mn的最小公倍数，则a≡b(modM)．前面介绍了同余式的一些基本内容，下面运用同余这一工具去解决一些具体问题．应用同余式的性质可以简捷地处理一些整除问题．若要证明m整除a，只需证a≡0(modm)即可．例1求证：(1)8｜(551999＋17)；(2)8(32n＋7)；(3)17｜(191000-1)．证(1)因55≡-1(mod8)，所以551999≡-1(mod8)，551999＋17≡-1＋17=16≡0(mod8)，于是8｜(551999＋17)．(2)32=9≡1(mod8)，32n≡1(mod8)，所以32n＋7≡1＋7≡0(mod8)，即8｜(32n＋7)．(3)19≡2(mod17)，194≡24=16≡-1(mod17)，所以191000=(194)250≡(-1)250≡1(mod17)，于是17｜(191000-1)．例2求使2n-1为7的倍数的所有正整数n．解因为23≡8≡1(mod7)，所以对n按模3进行分类讨论．(1)若n=3k，则2n-1＝(23)k-1＝8k-1≡1k-1＝0(mod7)；(2)若n=3k＋1，则2n-1=2·(23)k-1=2·8k-1≡2·1k-1＝1(mod7)；(3)若n=3k＋2，则2n-1=22·(23)k-1=4·8k-1≡4·1k-1＝3(mod7)．所以，当且仅当3｜n时，2n-1为7的倍数．例3对任意的自然数n，证明A=2903n-803n-464n＋261n能被1897整除．证1897=7×271，7与271互质．因为2903≡5(mod7)，803≡5(mod7)，464≡2(mod7)，261≡2(mod7)，所以A=2903n-803n-464n+261n≡5n-5n-2n+2n=0(mod7)，故7｜A．又因为2903≡193(mod271)，803≡261(mod271)，464≡193(mod271)，所以故271｜A．因(7，271)=1，所以1897整除A．例4把1，2，3…，127，128这128个数任意排列为a1，a2，…，a128，计算出｜a1-a2｜，｜a3-a4｜...
