初一数学培优讲义第4讲奇数与偶数一、定义被2整除的整数叫做偶数，记作2n(其中n是整数)有0，±2，±4，±6，…不能被2整除的整数叫做奇数，记作2n+1(其中n是整数).有±1，±3，±5，…二、性质1、偶数±偶数=偶数；奇数±奇数=偶数；奇数±偶数=奇数可以概括为——加上偶数不改变奇偶性；加上奇数改变奇偶性奇数×奇数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数可以概括为——乘以偶数都得到偶数；乘以奇数不改变奇偶性。2、反之：设a,b皆为整数，若a±b为偶数，则a,b的奇偶性相同；若a±b为奇数，则a,b的奇偶性相反。3、奇数个奇数之和（或差）是奇数；偶数个偶数之和（或差）是偶数。4、任意n个奇数的积仍是奇数，奇数的n次幂是奇数。反之，若n个数的积为奇数，则这n个数均为奇数。5、若任意有限个整数中至少有一个偶数，那么它们的积是偶数[比较：一组数相乘，其中有一个为0，则结果为0。]；反之，任意有限个整数之积是偶数，则这些因数中至少有一个偶数。三、练习：你必须给与每个问题足够的思考时间，尝试自己解决它们]1、设a,b,c,d均为整数，且a+b+c+d=奇数,求证：a,b,c,d至少有一个奇2、a,b,c,d均为整数，求证：a+b+c+d与a-b-c+d的奇偶性相同。3、元旦联欢会上，同学们互赠贺卡表示新年的良好祝愿。“无论人数是多少，用于交换的贺卡的张数总是偶数。”这句话正确吗？试说明你的理由。4、设a、b、c中有2个奇数，一个偶数，试说明(a+1)(b+2)(c+3)一定是偶数。5、设a、b是自然数,且满足关系式123456789=（11111+a）(11111-b),说明a-b是4的倍数。6、黑板上写着三个整数，任意檫去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，这样继续下去，最后得到3，1993，2003，问原来的三个数能否是2，2，2？7、一个俱乐部里的成员只有2种人：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话。某天俱乐部里的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人。外来一未记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三回答：“共有45人。”另一个成员李四说：“张三是老实人。”请判断李四是老实人还是骗子？8、已知n为整数，现有两个代数式：（1）2n+3,（2）4n-1,其中，能表示“任意奇数”的（）A．只有（1）B．只有（2）C．有（1）和（2）D．一个也没有9、将自然数1，2，3，…，2003，2005中的任意多个数添上负号，记这时的2005个数之和的绝对值S，那么（）A．S总是偶数B．S总是奇数C．当n为偶数时，S是偶数；当n为奇数时，S是奇数D．的奇偶性不能确定，它与的值及所选取添加负号的数有关10、如图，为一所房子的示意图，数字表示房间号码。每个房间有门与隔壁相通，小明要从1号房间开始不重复地走遍这9个房间，最后回到1号房间，能否做到？为什么？11、某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分。证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数。12、设a,b,c都是整数，且2∣（a+b+c）,证明a+b﹣c，a+c﹣b，b+c﹣a都是偶数。13、设为1，2，…,2005的任意一个排列，试证明：一定是偶数。14、你能找到三个整数a,b,c，使得关系式(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立吗？如果能找到，请举一例;如果找不到，请说明理由。
