第十四章14.3.1提公因式法知识点1：因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式,像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.关键提醒:分解因式是整式乘法的逆向变形.因式分解:等式左边是一个多项式,等式右边是整式的积的形式;整式乘法:等式左边是几个整式的积的形式,等式右边是一个多项式.知识点2：提公因式法分解因式(1)多项式中各项都含有的公共的因式,叫做多项式的公因式.确定公因式的原则是:①各项系数都是整数应提取各项系数的最大公约数;②字母提取各项的相同的字母;③各字母的指数取次数最低的.(2)如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.归纳整理:(1)当一个多项式的各项公因式是其中的单独一项时,提取公因式后该项应用1补上,不能漏掉;(2)如果多项式按一定顺序列出后,首项为负时,一般要连同“-”号提出,使括号内的第一项的系数为正的,但在提出“-”后括在括号内的各项与原来相比要改变符号;(3)有时提取公因式后要对括号内的项进行适当的化简,发现公因式还要及时提取;(4)如果公因式含有多项式因式时,应注意符号的变换,如(a+b)2=(b+a)2,(a-b)3=-(b-a)3;(5)因式分解的结果应将单项式写在前面,多项式写在后面,相同的因式写成乘方的形式.考点1：提公因式法分解因式【例1】把下列各式因式分解:(1)2a2bc+8a3b;(2)-a2xm+2+abxm+1-acxm-axm+3;(3)6q(p+q)-4p(p+q);(4)a(a-b)3+2a2(b-a)2-2ab(b-a).解:(1)2a2bc+8a3b=2a2b·c+2a2b·4a=2a2b(c+4a);(2)-a2xm+2+abxm+1-acxm-axm+3=-axm·ax2+axm·bx-axm·c-axm·x3=-axm(x3+ax2-bx+c);(3)6q(p+q)-4p(p+q)=2(p+q)·3q-2(p+q)·2p=2(p+q)(3q-2p);(4)a(a-b)3+2a2(b-a)2-2ab(b-a)=a(a-b)3+2a2(a-b)2+2ab(a-b)=a(a-b)[(a-b)2+2a(a-b)+2b]=a(a-b)(3a2-4ab+b2+2b).点拨：根据提公因式法的一般步骤,先确定各题的公因式,再提取即可.在第(2)题中,因多项式的第一项系数是负数,一般要提出“-”号,使括号内的第一项系数是正数,在提出“-”号后,多项式的各项都要变号;在第(4)题中,将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为含有公因式,如:当n为正整数时,(a-b)2n=(b-a)2n;(a-b)2n-1=-(b-a)2n-1.考点2：提公因式法的简便应用【例2】计算123×+268×+456×+521×.解:原式=×(123+268+456+521)=×1368=987.点拨：算式中每一项都含有,可以把它看成公因式提取出来,再算出结果.
