精选1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设2lim()8,xxxaxa则a=_____________.(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),且与平面428xyz垂直,则此平面方程为_____________.(3)微分方程22exyyy的通解为_____________.(4)函数22ln()uxyz在点(1,0,1)A处沿点A指向点(3,2,2)B方向的方向导数为_____________.(5)设A是43矩阵,且A的秩()2,rA而102020,103B则()rAB=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)已知2()()xaydxydyxy为某函数的全微分,a则等于(A)-1(B)0(C)1(D)2(2)设()fx具有二阶连续导数,且0()(0)0,lim1,xfxfx则(A)(0)f是()fx的极大值(B)(0)f是()fx的极小值(C)(0,(0))f是曲线()yfx的拐点(D)(0)f不是()fx的极值,(0,(0))f也不是曲线()yfx的拐点(3)设0(1,2,),nanL且1nna收敛,常数(0,),2则级数21(1)(tan)nnnnan(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)散敛性与有关精选(4)设有()fx连续的导数220,(0)0,(0)0,()()(),xffFxxtftdt且当0x时,()Fx与kx是同阶无穷小,则k等于(A)1(B)2(C)3(D)4(5)四阶行列式1122334400000000abababba的值等于(A)12341234aaaabbbb(B)12341234aaaabbbb(C)12123434()()aabbaabb(D)23231414()()aabbaabb三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)求心形线(1cos)ra的全长,其中0a是常数.(2)设1110,6(1,2,),nnxxxnL试证数列{}nx极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分(2),Sxzdydzzdxdy其中S为有向曲面22(01),zxyx其法向量与z轴正向的夹角为锐角.(2)设变换2uxyvxay可把方程2222260zzzxxyy简化为20,zuv求常数.a五、(本题满分7分)求级数211(1)2nnn的和.六、(本题满分7分)设对任意0,x曲线()yfx上点(,())xfx处的切线在y轴上的截距等于01(),xftdtx求()fx的一般表达式.七、（本题满分8分）设()fx在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件(),(),fxafxb其中,ab都是非负常数,c精选是(0,1)内任意一点.证明()2.2bfca八、（本题满分6分）设,TAIξξ其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,Tξ是ξ的转置.证明(1)2AA的充分条件是1.Tξξ(2)当1Tξξ时,A是不可逆矩阵.九、（本题满分8分）已知二次型222123123121323(,,)55266fxxxxxcxxxxxxx的秩为2,(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值.(2)指出方程123(,,)1fxxx表示何种二次曲面.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A生产的概率是____________.(2)设,是两个相互独立且均服从正态分布21(0,())2N的随机变量,则随机变量的数学期望()E=____________.十一、（本题满分6分）设,是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知的分布率为1(),1,2,3.3Pii又设max(,),min(,).XY(1)写出二维随机变量的分布率:XY123123(2)求随机变量X的数学期望().EX精选1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)答案详解一、填空题（1）【答】.2ln【详解】因为,31lim2lim333aaxaxaaxxxxeaxaaxax于是2ln83aea（2）【答】0322zyx【详解】原点与点)2,3,6(连线的方向向量为);2.3,6(s平面824zyx的法向量为,2,1,4n根据题意，所求平面的法向量为.322214236kjikjins故所求平面方程为,0)0(3)0(2)0(2zyx即0322zyx（3）【答】xxxexeCxeCysincos21【详解】对应齐次方程的特征方程为,0222解得特征根为,12,1i由于1不是特征根，可设原方程的特解为,Aey代入原方程解得,1A故所求通解为xxxexeCxeCysincos21（4）【答】.21【详解】因为,211)1,0,1(22zyxxuA精选,01)1,0,1(2222zyyzyxyuA,211)1,0,1(2222zyzzyxzuA,31cos,32cos,32cos沿AB方向的单位向量为,31,32,32故u沿AB方向的方向导数为2131213203221ABu（5）【答】.2【详解】因为,010301020201B说明矩阵B可逆，故秩)(ABr秩,2)(Ar二、选择题（1）【答】应选（D）【详解】2)()(yxydydxayx为某函数的全微分的充要条件是,)()(22yxayxyyxyx即,2)2(yayxa.0))(2(yxa当且仅当2a时上式...
