2013年全国初中数学竞赛试题班级姓名成绩供稿人:李锦扬一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分.每道小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分)1.设非零实数a,b,c满足2302340abcabc,,则222abbccaabc的值为().(A)12(B)0(C)12(D)12.已知a,b,c是实常数,关于x的一元二次方程20axbxc有两个非零实根1x,2x,则下列关于x的一元二次方程中,以211x,221x为两个实根的是().(A)2222(2)0cxbacxa(B)2222(2)0cxbacxa(C)2222(2)0cxbacxa(D)2222(2)0cxbacxa3.如图,在Rt△ABC中,已知O是斜边AB的中点,CD⊥AB,垂足为D,DE⊥OC,垂足为E.若AD,DB,CD的长度都是有理数,则线段OD,OE,DE,AC的长度中,不一定...是有理数的为().(A)OD(B)OE(C)DE(D)AC4.如图,已知△ABC的面积为24,点D在线段AC上,点F在线段BC的延长线上,且4BCCF,DCFE是平行四边形,则图中阴影部分的面积为().(A)3(B)4(C)6(D)85.对于任意实数x,y,z,定义运算“*”为:32233333451160xyxyxyxyxy,且xyzxyz,则2013201232L的值为().(第3题)(第4题)(A)607967(B)1821967(C)5463967(D)16389967二、填空题6.设33a,b是2a的小数部分,则3(2)b的值为.7.如图,点D,E分别是△ABC的边AC,AB上的点,直线BD与CE交于点F,已知△CDF,△BFE,△BCF的面积分别是3,4,5,则四边形AEFD的面积是.8.已知正整数a,b,c满足2220abc,2380abc,则abc的最大值为.9.实数a,b,c,d满足:一元二次方程20xcxd的两根为a,b,一元二次方程20xaxb的两根为c,d,则所有满足条件的数组(),,,abcd为.10.小明某天在文具店做志愿者卖笔,铅笔每支售4元,圆珠笔每支售7元.开始时他有铅笔和圆珠笔共350支,当天虽然笔没有全部卖完,但是他的销售收入恰好是2013元.则他至少卖出了支圆珠笔.三、解答题11.如图,抛物线y23axbx,顶点为E,该抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OB=OC=3OA.直线113yx与y轴交于点D.求∠DBC∠CBE.12.设△ABC的外心,垂心分别为OH,,若BCHO,,,共圆,对于所有的△ABC,求BAC所有可能的度数.13.设a,b,c是素数,记xbcaycabzabc,,,当2,2zyxy时,a,b,c能否构成三角形的三边长?证明你的结论.14.如果将正整数M放在正整数m左侧,所得到的新数可被7整除,那么称M为m的“魔术数”(例如,把86放在415的左侧,得到的数86415能被7整除,所以称86为415的魔术数).求正整数n的最小值,使得存在互不相同的正整数12naaa,,⋯,,满足对任意一个正整数m,在12naaa,,⋯,中都至少有一个为m的魔术数.(第7题)(第11题)2013全国数学联赛试题参考答案一、选择题1.设非零实数a,b,c满足2302340abcabc,,则222abbccaabc的值为().(A)12(B)0(C)12(D)1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0abcabcabc,故2()0abc.于是2221()2abbccaabc,所以22212abbccaabc.2.已知a,b,c是实常数,关于x的一元二次方程20axbxc有两个非零实根1x,2x,则下列关于x的一元二次方程中,以211x,221x为两个实根的是().(A)2222(2)0cxbacxa(B)2222(2)0cxbacxa(C)2222(2)0cxbacxa(D)2222(2)0cxbacxa【答案】B【解答】由于20axbxc是关于x的一元二次方程,则0a.因为12bxxa,12cxxa,且120xx,所以0c,且221212222221212()2112xxxxbacxxxxc,22221211axxc,于是根据方程根与系数的关系,以211x,221x为两个实根的一元二次方程是222220bacaxxcc,即2222(2)0cxbacxa.3.如图,在Rt△ABC中,已知O是斜边AB的中点,CD⊥AB,垂足为D,DE⊥OC,垂足为E.若AD,DB,CD的长度都是有理数,则线段OD,OE,DE,AC的长度中,不一定...是有理数的为().(A)OD(B)OE(C)DE(D)AC【答案】D(第3题)【解答】因AD,DB,CD的长度都是有理数,所以,OA=OB=OC=2ADBD是有理数.于是,OD=OA-AD是有理数.由Rt△DOE∽Rt△COD,知2ODOEOC,·DCDODEOC都是有理数,而AC=·ADAB不一定是有理数.4.如图,已知△ABC的面积为24,点D在线段AC上,...