精品文档精品文档平面向量重难点解析课文目录2．1平面向量的实际背景及基本概念2．2平面向量的线性运算2．3平面向量的基本定理及坐标表示2．4平面向量的数量积2．5平面向量应用举例目标：1、理解和掌握平面向量有关的概念；2、熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；3、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；4、明确平面向量作为工具在复数、解析几何、实际问题等方面的应用；重难点：重点：向量的综合应用。难点：用向量知识，实现几何与代数之间的等价转化。【要点精讲】1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示-----ABuuur(几何表示法)；②用字母ar、br等表示(字母表示法)；③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ir、jr作为基底。任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得axiyjrr，),(yx叫做向量a的（直角）坐标，记作(,)axyr，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，特别地，ir(1,0)，jr(0,1)，0(0,0)r。22axyr；若),(11yxA，),(22yxB，则1212,yyxxAB，222121()()ABxxyy3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：||aa就是单位向量）4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；精品文档精品文档②我们规定0r与任一向量平行.向量ar、br、cr平行，记作ar∥br∥cr.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.性质：//(0)(abbabrurrrrr是唯一）||babaaburrurrrr0,与同向方向---0,与反向长度---1221//(0)0abbxyxyrurrr（其中1122(,),(,)axybxyrur）5.相等向量和垂直向量：①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.②垂直向量——两向量的夹角为2性质：0ababrurrrg12120abxxyyrur（其中1122(,),(,)axybxyrur）6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。平行四边形法则：ACabuuurrr（起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）DBabuuurrr三角形法则,加法首尾相连减法终点相连方向指向被减数——加法法则的推广：112nABABBBuuuuruuuruuuur⋯⋯1nnBBuuuuuur即n个向量12,,aauruur⋯⋯nauur首尾相连成一个封闭图形，则有12aauruur⋯⋯0nauurr②向量的减法向量ar加上的br相反向量，叫做ar与br的差。即：arbr=ar+(br)；差向量的意义：OA=ar,OB=br,则BA=arbr精品文档精品文档③平面向量的坐标运算：若11(,)axyr，22(,)bxyr，则abrr),(2121yyxx，abrr),(2121yyxx，(,)axyr。④向量加法的交换律：a+b=b+a；向量加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)⑤常用结论：（1）若1()2ADABACuuuruuuruuur，则D是AB的中点（2）或G是△ABC的重心，则0GAGBGCuuuruuuruuurr7．向量的模：1、定义：向量的大小，记为|ar|或|ABuuur|2、模的求法：若(,)axyr，则|ar|22xy若1122(,),(,)AxyBxy，则|ABuuur|222121()()xxyy3、性质：（1）22||aarr；22||(0)||abbabrr（实数与向量的转化关系）（2）22||||ababrrrr，反之不然（3）三角不等式：||||||||||abababrrrrrr（4）||||||ababrrrrg（当且仅当,abrr共线时取“=”）即当,abrr同向时，||||ababrrrrg；即当,abrr同反向时，||||ababrrrrg（5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，即22222||2||||||abababrrrrrr8．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0；（3）运算定律λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb精品文档精品文档交换律：abbarrrrgg;分配律：()abcacbcrrrrrrrggg(a)·br=(a·br)=a·(br);——①不满足结合律：即()()abcabcrrrrrrgggg②向量没有除法运算。如：abcbacrrrrrrgg，2aaabbrrrrrg都是错误的（4）已知两个非零向量,abrr，它们的夹角为，则abrrg=||||cosabrr坐标运算：1122(,),(,)axybxyrur，则1212abxxyyrurg（5）向量ABauuurr在轴l上的投影为：︱ar︱cos，（为anrr与的夹角，nr为l的方向向量）其投影的长为//||anABnrrgr（||n...
