2016级博士生数学复习题1.设()||||fxx是实Hilbert空间H上的泛函，证明，当0x，()fx在点x处沿着h方向的Gateaux微分。P81证明：xhxxthxtthththxxthxtxxthxthxxthxtxthxxthxtxthxxthxtxthxtxfthxftttttt,)(,,2lim)(,,lim)(lim)())((limlim)()(lim00220000于是，当0x时，f在x处沿着h方向的teauxaG微分为：xhxhxDf,),(2.设泛函342,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyxyxyfxyxyxy，证明(,)fxy在点(0,0)处不是Frechet微分。P84证明：由于Ryxxyxyx,,21243所以f在点（0,0）处连续，令),(h，则有ttttttttfthftt24300)()()(lim)0()0(lim因此，f在点（0,0）处沿方向h的teauxaG微分为)),(),0,0((Df，但是，如果令2，则有2/1422/122)()(h于是021)()(lim)()(lim),0()0()(lim2/1422242302/14224300hhhhhDffhf所以，f在点（0,0）处不是cheteFr可微的。3.设(,)kts为[0,1][0,1]上的二元连续函数，定义以(,)kts为积分核的积分算子22:([0,1])([0,1])KLL为120()()(,)(),([0,1]).KftktsfsdsfLP42证明：对于任意的)1,0(,2Lgf，有10________1010_______________________1010____________________1010____________101010)(),(,)(),()()(),()()(),()()()(),()(,)(),(,dssgstkfdtdssgstktfdsdttgstksfdsdttgstksfdttgdssfstktgdssfstkgKf则有102)1,0(,)(),())((LfdssfstktKf4.求证：1*20()()(,)(),([0,1]).KftkstfsdsfL1223121(,,)(,,,,)23nnTxxxxxn.求T.P41证明：对于任意的221),,(lxxx，有xxxxxxxxxnnxxxnnxxxxTTxnnnn2/122322212/1223222/1223223221))()()()())()()())1()32()21(),1,,32,21(),,(于是1T，另外，对于),0,1,0,,0(ne，则有)(11,0,1,0,,0nnnnnTen所以1T5.判断下面方程的类型并把它化成标准型：4520.xxxyyyxyuuuuu证明：因为判别式,0942acb故方程为双曲型。其特征方程为41,1dydxdxdy，则,41,dxdydxdy求得特征线是2141,cxycxy，其中c1，c2为任意常数，作变化,41,xyxy可将方程化成双曲型第一标准型：09831uu若再作变换，,,ts方程就可化成双曲型第二标准型0983131tsttssuuuu.6.求初值问题()(),0,1uuyuuxxyxyuxy当时的解.证明：由特征方程yxduxudyuydx求得两个相互独立的初积分是22221,cuyxcuyx因此，全特征线都是一些圆的曲线。我们必须选择通过已给曲线：xy=1，u=0的全特征线族，当xy=1时，u=0表明有2221,cyxcyx，且xy=1，即222221cxyyxc故所求积分曲面的隐式解为22222uyxuyx写成显式形式为yxxyu17.“平面上给定两个固定点，求连接这两个固定点的曲线中最短的曲线方程”。试建立这一问题的变分模型，并求解。P93证明：转化为在边界条件1100)(,)(yxyyxy，在此条件下求解泛函dxyxyJxx102)(1)(的极小值。因为21yF，所以21,0yyyFyFE-L方程：0)(yFdxdyF则有1CyF这里C1为积分常数，即121Cyy解得aCCy2111所以baxy由1100)(,)(yxyyxy，可得)(001010xxxxyyyy8.“已知周长的一切封闭曲线中包围最大面积的图形必定是圆”。试建立这一问题的变分模型，并求解。解：i.假设所考虑的曲线用参数形式表示：x=x(s),y=y(s)s为参数。取s1为曲线上的某一定点，则坐标表示x1=x(s1),y1=y(s1),因曲线是封闭的，必存在一个s2点使x2=x(s2),y2=y(s2)与点s1(x1,y1)重合。ii.该封闭曲线的周长：L=dsdsdydsdxss2122)()(该曲线所围成的面积：R=dxdyiii.转换R的表达式由Green公式：21)(ssQdyPdxdxdyyPxQ取P=-2y,Q=2x,则：1yPxQ∴2121))(')('(2121ssssdssyxsxyydxxdyR在满足端点条件x(s1)=x(s2),y(s1)=y(s2)及周长一定Lssdsdydsdx2122)()(条件下，寻找曲线函数)()(sysx使泛函R取驻值的为圆。9.求泛函2022]2[)](),([dxyzzyxzxyJ满足边界条件1)2/(,0)0(,1)2/(,0)0(zzyy的逗留曲线。P93证明：由于yzzyzyzyxF2,,,,22故Euler方程为,0)2(2;0)2(2zdxdyydxdz即,0;0zyyz于是yy)4(，上述方程的通解为,sincos;sincos43214321xcxcececyzxcxcececyxxxx由边界条件可得1,04321cccc，故所求的极值曲线为,sin;sinxzxy10.查阅文献资料，说明变分法的应用和意义等（如有可能结合具体的使用学科或实例加以说明）。答：变分法是研究泛函卡及值的数学分支，其基本问题是求泛函(函数的雨数)的极值及相应的极值函数。变分法是重要的数学分支，与诸如微分方程、数学物理、极...
