二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下：1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。4、投影法：利用s投影面=s被投影面cos这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。尤其对无棱问题5异面直线距离法：EF2=m2+n2+d2－2mncos例1：若p是ABC所在平面外一点，而PBC和ABC都是边长为2的正三角形，PA=6,求二面角P-BC-A的大小。分析：由于这两个三角形是全等的三角形，故采用定义法解：取BC的中点E，连接AE、PEAC=AB，PB=PCAEBC，PEBCPEA为二面角P-BC-A的平面角在PAE中AE=PE=3，PA=6PCBAEPEA=900二面角P-BC-A的平面角为900。例2：已知ABC是正三角形，PA平面ABC且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。[思维]二面角的大小是由二面角的平面角来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点间距离公式求二面角的平面角。解1：（三垂线定理法）取AC的中点E，连接BE，过E做EFPC,连接BFPA平面ABC，PA平面PAC平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=ACBE平面PAC由三垂线定理知BFPCBFE为二面角A-PC-B的平面角设PA=1,E为AC的中点，BE=23,EF=42tanBFE=6EFBEBFE=arctan6解2：（三垂线定理法）取BC的中点E，连接AE，PE过A做AFPE,FMPC,连接FMAB=AC,PB=PCAEBC,PEBCBC平面PAE,BC平面PBC平面PAE平面PBC,平面PAE平面PBC=PE由三垂线定理知AMPCPCBAEFMEPCBAF图1图2FMA为二面角A-PC-B的平面角设PA=1，AM=22,AF=721.PEAEAPsinFMA=742AMAFFMA=argsin742解3：（投影法）过B作BEAC于E,连结PEPA平面ABC，PA平面PAC平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=ACBE平面PACPEC是PBC在平面PAC上的射影设PA=1,则PB=PC=2,AB=141PECS,47PBCS由射影面积公式得，77cosarg,77PBCPECSSCOS,解4：（异面直线距离法）过A作ADPC,BEPC交PC分别于D、E设PA=1,则AD=22,PB=PC=2BE=PCSPBC21=414,CE=42,DE=42由异面直线两点间距离公式得AB2=AD2+BE2+DE2-2ADBECOS,COS=77cosarg,77[点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。PCBAEEPCBAD图3图4例3：二面角EF的大小为120，A是它内部的一点，AB，AC,B、C为垂足。（1）求证：平面ABC,平面ABC（2）当AB=4cm,AC=6cm时求BC的长及A到EF的距离。分析：本题采用作棱的垂面法找二面角的平面角解：（1）设过ABC的平面交平面于BD,交平面于CDAB,AB平面ABC平面ABC,同理平面ABC（2）ABABEF同理ACEFEF平面ABDCBDEF,CDEFBDC=12060BACBC=72606426422COScm有正弦定理得点A到EF的距离为：d=321460sinBCcm《二面角的求法》一、复习引入：1、什么是二面角及其平面角？范围是什么？ABCDωθβlαnn①从一条直线出发的两个半平面所成的图形叫做二面角，记作：二面角α—l—β。②以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。③范围：[0,]2、二面角出现的状态形式有哪些？竖立式横卧式2、二面角的类型及基本方法（1）四种常规几何作求法定义法垂面法；三垂线法；射影面积法cos=S射影多边形/S多边形（2）向量法：①设mur和nr分别为平面,的法向量，二面角l的大小为，向量mur、nr的夹角为，如图：ωθβlαnn结论①：设mur和nr分别为平面,的法向量，二面角l的大小为，向量mur、nr的夹角为，则有或结论②：一般地，若设mn,分别是平面,的法向量，则平面与平面所成的二面角的计算公式是：mnmnarccos时）当二面角为锐角、直角(或mnmnarccos当二面角为钝角时）(，其中锐角、钝角根据图形确定。二、例题讲解：以锥体为载体，对求角的问题进行研究例1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，SA⊥平面AC，SA=AB=BC=1，A...
