尺规作图知识梳理VIP免费

一、尺柜作图知识梳理尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图。尺规作图是起源于古希腊的数学课题。只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题。尺规作图使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同：1、直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度；2、圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成之前构造过的长度。1.每次的操作只能是公认允许的五项基本操作（称为五项作图公法）之一。2.每次操作之前，操作者为决定是否操作和进行哪种操作可以进行的逻辑判断，也只能是几何学中公认允许的几种。基于“作图公法”的定义如下：承认以下五项前提，有限次运用以下五项公法而完成的作图方法，就是合法的尺规作图：五项前提是：(1)允许在平面上、直线上、圆弧线上已确定的范围内任意选定一点（所谓“确定范围”，依下面四条的规则）。(2)可以判断同一直线上不同点的位置次序。(3)可以判断同一圆弧线上不同点的位置次序。(4)可以判断平面上一点在直线的哪一侧。(5)可以判断平面上一点在圆的内部还是外部。五项公法是：(1)根据两个已经确定的点作出经过这两个点的直线。(2)以一个已经确定的点为圆心，以两个已经确定的点之间的距离为半径作圆。(3)确定两个已经做出的相交直线的交点。(4)确定已经做出的相交的圆和直线的交点。(5)确定已经做出的相交的两个圆的交点。也有些资料上给出的五项公法的后两条中的“交点”改为“公共点”。这两种叙述差别在于后者多包括了“切点”。但是，因为确定切点即使不算基本操作，也是可以用其它基本操作组合实现的。所以，两种叙述的定义并无本质不同。中国古代“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字。“矩”就像木工使用的角尺，由长短两尺相交成直角而成，两者间用木杠连接以使其牢固，其中短尺叫勾，长尺叫股。矩的使用是我国古代的一个发明，山东历城武梁祠石室造像中就有“伏羲氏手执矩，女娲氏手执规”之图形.矩不仅可以画直线、直角，加上刻度可以测量，还可以代替圆规.甲骨文中也有矩字，这可追溯到大禹治水(公元前2000年)前.《史记》卷二记载大禹治水时“左准绳，右规矩”.赵爽注《周髀算经》中有“禹治洪水，⋯⋯望山川之形，定高下之势，⋯⋯乃勾股之所由生也.”意即禹治洪水，要先测量地势的高低，就必定要用勾股的道理.这也说明矩起源于很远的中国古代.春秋时代也有不少著作涉及规矩的论述，《墨子》卷七中说“轮匠(制造车子的工匠)执其规矩，以度天下之方圆.”《孟子》卷四中说“离娄(传说中目力非常强的人)之明，公输子(即鲁班，传说木匠的祖师)之巧，不以规矩，不能成方圆.”可见，在春秋战国时期，规矩已被广泛地用于作图、制作器具了.由于我国古代的矩上已有刻度，因此使用范围较广，具有较大的实用性。古希腊古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值.因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，提出了尺规作图问题.所谓尺规作图，就是只有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图.古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政治上的纠葛，被关进监狱，并被判处死刑。在监狱里，他思考改圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活.他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题。后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》。由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规作图也一直被遵守并流传下来。近代西方由于对尺规作图的限制，使得一些貌似简单的几何作图问题无法解决.最著名的是被称为几何三大问题的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题.当时很多有名的希腊数学家，都曾着力于研究这三大问题，虽然借助于其他工具或曲线，这三大难题都可以解决，但由于尺规作图的限制，却一直未能如愿以偿.以后两千年来，无数数...