第二十二章22.3.2实际问题与二次函数（二）知识点:用二次函数解决抛物线建筑的有关问题抛物线在实际生活中有着广泛的应用,如修建石拱桥和拱形的隧道,公园里的喷泉中水柱运行的轨迹以及我们打篮球投篮时,篮球运行的轨迹等.解决这类问题的关键是进行二次函数的建模——把实际问题转化为数学问题,再用二次函数的有关知识来解决问题.考点1：实际问题中二次函数与其他函数问题的综合运用【例1】如图,三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小都相同.建立如图所示的直角坐标系,正常水位时,大孔水面宽度AB=20m,顶点M距水面6m(即MO=6m),小孔顶点N距水面4.5m(NC=4.5m).当水位上涨刚好淹没小孔时,求大孔的水面宽度EF.解:设大孔对应的抛物线所对应的函数解析式为y=ax2+6.依题意,得B(10,0).∴a×102+6=0.解得a=-0.06,即y=-0.06x2+6.当y=4.5时,-0.06x2+6=4.5,解得x=±5.∴DF=5m,∴EF=10m.即大孔的水面宽度为10m.点拨：观察图象可知大孔对应的抛物线的对称轴为y轴,顶点为(0,6),故可设其对应的函数解析式为y=ax2+6.又因为AB=20m,所以OB=10m,故B(10,0)在抛物线上,代入函数解析式即可求出a的值.考点2：动态几何与二次函数的综合应用【例2】如图,已知正三角形ABC的边长为1,E,F,G分别是AB,BC,CA上的点,且AE=BF=CG,设△EFG的面积为y,AE的长为x,则y关于x的函数的图象大致是图中的()ABCD答案:C点拨：本题是三角形的有关面积以及函数图象的综合题,解答时根据已知首先求得△EFG的面积y关于x的函数解析式,然后根据函数解析式判断函数图象.因为正三角形ABC的边长为1,所以其面积为.因为AE=BF=CG=x,所以BE=FC=AG=1-x,又因为∠A=∠B=∠C=60°,所以△AEG≌△BFE≌△CGF,所以△AEG、△BFE、△CGF的面积都相等.过点E作EH⊥AG于H,易求得EH=x,所以△AEG的面积为x(1-x),所以y=-3×x(1-x)=x2-x+.因为>0,所以抛物线y=x2-x+开口向上.又因为b2-4ac<0,所以抛物线与x轴无交点.故应选C.
