22．2一元二次方程的解法22．2.1直接开平方法和因式分解法第1课时直接开平方法【知识与技能】1．理解一元二次方程降次的转化思想．2．会用直接开平方法解形如(x＋b)2＝n(n≥0)的一元二次方程．【过程与方法】1．会用直接开平方法解简单的一元二次方程．2．会根据平方根的意义解缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0，然后迁移到解a(x＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．【情感态度】1．通过探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯．2．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．【教学重点】运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会解一元二次方程的基本思想——通过降次转化为一元一次方程求解．【教学难点】通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、创设情境，导入新知1．叙述平方根的定义．2．求适合x2＝4的x的值．说明：学生不难得出本题的解x＝2或x＝－2.教师可引导学生观察这个方程的特点，探索解这个方程与已学知识(第11章“数的开方”中的平方根)的联系．在求出方程x2＝4的解以后，教师总结：解这样的方程就是“要求一个数，使它的平方等于4”，即求4的平方根，可用直接开平方的方法．从而引出新课——直接开平方法解一元二次方程．二、合作探究，理解新知问题1：怎样解形如x2＝b的方程？教师用上面的例子说明这类一元二次方程的解法，当b≥0时，方程解为x＝±.问题2：怎样解方程ax2＋c＝0(a≠0)?(1)教师可用①x2－2＝0；②2x2－8＝0；③2x2＋8＝0等方程为例，由学生把它们变形为x2＝－的形式，再用平方根的定义来求解，并指出方程③的解不存在．在此基础上给出直接开平方法的定义：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程根的方法叫直接开平方法．(2)引导学生归纳方程ax2＋c＝0(a≠0)的解法：当a、c异号时，方程ax2＋c＝0的根为x＝±；当a、c同号时，方程无实数根．(3)对于下列方程你能用直接开平方法解吗？①(y－1)2＝2；②(3x＋1)2－4＝0；③2x2－3＝0；④x2－4x＋4＝1.例题讲解例1：解方程：(x＋2)2＝5.解：原方程两边开平方，得x＋2＝±.所以原方程的解为x1＝－2＋，x2＝－2－.【教学说明】在讲此题时，可说明：(1)在这里我们把(x＋2)看作一个整体，就可以转化为x2＝n(n≥0)的形式解，这里渗透了换元的思想．(2)在对(x＋2)2＝5两边同时开平方后，原方程就可转化为两个一元一次方程，这时可向学生指出，这种变形就是降次，解一元二次方程的实质就是降次，将一元二次方程转化为一元一次方程．“降次”也是一种常用的数学方法．例2：解下列方程：(1)(x－)2＝(2－)2；(2)(x＋)(x－)＝7；(3)x2＋4x＋4＝1.解：(1)方程两边直接开平方，得x－＝±(2－)．所以原方程的解是x1＝2＋－，x2＝－2＋＋；(2)原方程变形为x2－5＝7，即x2＝12.两边开平方，得x＝±2.所以原方程的解为x1＝2，x2＝－2；(3)原方程变形为(x＋2)2＝1，所以x＋2＝±1.所以原方程的解为x1＝－3，x2＝－1.【教学说明】凡是能化成(x＋m)2＝n形式的方程都能用直接开平方的方法求解．例3：解方程：(x－3)2＝4(2x＋1)2.解：方程两边直接开平方，得x－3＝±2(2x＋1)．所以x－3＝2(2x＋1)，或x－3＝－2(2x＋1)．所以原方程的解为x1＝－，x2＝.【教学说明】形如(ax＋b)2＝(cx＋d)2(ac≠0)的方程也可用直接开平方的方法求解．三、尝试练习，掌握新知请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．四、课堂小结，梳理新知本节课你有什么收获或困惑？1．直接开平方法可解下列类型的一元二次方程：(1)x2＝n(n≥0)；(2)(x＋b)2＝n(n≥0)．解法的根据是平方根的定义．2．解一元二次方程的实质是降次，在解题过程中要注意换元方法的渗透．五、深入练习，巩固新知请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．教材第23页练习第(1)、(2)、(3)题．第2课时因式分解法【知识与技能】1．了解因式分解法的概念．2．会用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程．【过程与方法】1．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．2．体会运用转化的数学思想．【情感态度】积极探索不同的解法，并和同伴进行...
