2010年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1.若,,abc均为整数且满足1010()()1abac，则||||||abbcca（B）A．1.B．2.C．3.D．4.解：由已知可推得011abbcac或110abbcac，分别代入即得。2．若实数,,abc满足等式23||6ab，49||6abc，则c可能取的最大值为（C）A．0.B．1.C．2.D．3.解：由已知，6492(23)15121512cababbb，∴2c.3．若ba,是两个正数，且,0111abba则（C）A．103ab.B．113ab.C．413ab.D．423ab.解：当ab时，可计算得23ab，从而43ab。观察4个选项，只能选C.4．若方程2310xx的两根也是方程420xaxbxc的根，则2abc的值为（A）A．－13.B．－9.C．6.D．0.解：由已知：42xaxbxc一定能被231xx整除。 4222(31)(310)[(333)(10)]xaxbxcxxxxaabxac∴(333)(10)0abxac，故3330213100ababcac5．在△ABC中，已知60CAB，D，E分别是边AB，AC上的点，且60AED，CEDBED，CDECDB2,则DCB(B)A．15°.B．20°.C．25°.D．30°.解：如图，由已知，ADE是正三角形。作BF∥DE交AC于F，则BD＝EF，从而EC＝DE+BD＝AB＝BF，DE＝FC，又∠1＝∠2＝120○，故ΔEDC≌ΔFCB.故x. ∠CDB＝2，∠BDE＝120○，∴40，故40x由406020，得：20x.6．对于自然数n，将其各位数字之和记为na，如2009200911a，201020103a，则12320092010aaaaa（D）A．28062.B．28065.C．28067.D．28068.解：将0，1，2，⋯，999这1000个自然数分为500个数组：（0，999）、（1，998）、（2，997）、⋯、（499，500）.注意到：这500个数组中，每个数组的两个自然数各位数字之和均为9＋9＋9＝27，故0，1，2，⋯，999这1000个自然数各位数字之和等于2750013500.于是，1000，1001，1002，⋯，1999这1000个自然数各位数字之和等于13500＋1000＝14500.从而1231999135001450028000aaaa.显然：20002001201068aaa，故：123201028068aaaa.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,xy满足方程组3319,1,xyxy则22xy13。解：22332222191913121xyxyxyxyxyxyxy2．二次函数cbxxy2的图象与x轴正方向交于A，B两点，与y轴正方向交于点C．已知ACAB3，30CAO，则c19．解：如图，由已知可推得：323OCcOAcABc，设12(,0),(,0)AxBx，则12333xcxc，由212199xxccc.3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝5，PC＝5，则PB＝10．解：见上图。4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放15个球.解：先画一个“初始图”：○ABCDE○ABCDE○按照题目要求，逐一确定各个字母的颜色，得到：○○○○D○○○○○D○显然，D应为黑色。即：○○○○●○○○○○●○再按要求尝试增加小球，确定最后结果如下：○○○○●○○○○○●○○○○第二试（A）一．（本题满分20分）设整数,,abc（abc）为三角形的三边长，满足22213abcabacbc，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解由已知等式可得222()()()26abbcac①令,abmbcn，则acmn，其中,mn均为自然数.于是，等式①变为222()26mnmn，即2213mnmn②由于,mn均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,mn只有两组：3,1mn和1,3.mn（1）当3,1mn时，1bc，34abc.又,,abc为三角形的三边长，所以bca，即(1)4ccc，解得3c.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30abcccc，解得253c.因此2533c，所以c可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3mn时，3bc，14abc.又,,abc为三角形的三边长，所以bca，即(3)4ccc，解得1c.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30abcccc，解得233c.因此2313c，所以c可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线.证明过点P作⊙I的切线PQ（切点为Q）并延长，交BC于点N.因为CP为∠ACB的平分线，所以∠ACP＝∠BCP.又因为PA、PQ均为⊙I的切线，所以∠APC＝∠NPC.又CP公共，所以△ACP...
