第十六章《16.1平行四边形》【同步教育信息】一.本周教学内容：平行四边形及特殊的平行四边形中的典型题目学习要求：1.理解平行四边形的性质，掌握平行四边形的识别方法。2.理解特殊平行四边形的性质，掌握特殊平行四边形的识别方法。3.学会一些证明题目的证明方法，从中体会逻辑推理的方法。二.重点、难点：学习重点：1.平行四边形的性质及识别方法。2.特殊平行四边形的性质及识别方法。学习难点：逻辑推理的方法。【学习内容】一.关于平行四边形性质及识别的典型题目：例1.如图1所示，平行四边形ABCD中，AC与BD的和为28，CD＝5。（1）求ΔCOD的周长。（2）ΔAOB、ΔBOC、ΔCOD、ΔDOA的面积相等吗？为什么？若平行四边形ABCD的面积是56，则ΔAOB的面积等于多少？（3）ΔACD与ΔBCD的面积相等吗？为什么？图1解：（1）由于在平行四边形ABCD中，AO＝OC，BO＝OD，且AC＋BD＝28所以CO＋OD＝14又因为CD＝5所以，ΔCOD的周长为19。（2）ΔAOB、ΔBOC、ΔCOD、ΔDOA的面积相等。其理由是：平行四边形ABCD中，BO＝OD，且ΔAOB与ΔAOD中边OB、OD上的高相同，都是AE（过A作AE⊥BD，点E是垂足）所以亦即ΔAOB的面积为14例2.如图2，在ΔABC中，BD平分∠ABC，DE//BC，EF//AC，说明线段BE与CF相等。图2解：因DE//BC知∠2＝∠3又BD平分∠ABC，可知∠1＝∠2故∠1＝∠3得DE＝EB而DE//BC，EF//AC知四边形DECF是平行四边形有DE＝CF故可知EB＝CF例3.如图3，已知E、F分别为平行四边形ABCD的边CD、AB上的一点，AE//CF，BE、DF分别交CF、AE于H、G，试说明EG＝FH。图3解：因为AE//CF，AF//CE所以四边形AECF是平行四边形所以AF＝CE又因为AB＝CD所以BF＝DE所以四边形BFDE是平行四边形所以EG＝FH说明：EG＝FH，从位置上看只要说明四边形EGFH是平行四边形即可。由于EG//FH，而EG＝FH是要说明的结果，所以首选的方法是DF//BE，故要说明相等的线段是四边形的一组对边时，常常先说明这个四边形是平行四边形。例4.如图4，在平行四边形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，使BE＝DF，说明AC与EF互相平分。图4解：可连接AF、CE因为四边形ABCD是平行四边形所以AB//CD，AB＝CD又因为BE＝DF所以AB＋BE＝CD＋DF即有AE＝CF所以四边形AECF是平行四边形，AC与EF互相平分。说明：要说明两条线段互相平分，只要说明两线段的四端点构成的四边形是平行四边形即可。例5.如图5，在ΔABC中，AB＝AC，点D在BC上，DE//AC交AB于E，DF//AB交AC于F，说明DE＋DF＝AB。图5解：在ΔABC中，DF//AB，故而∠FDC＝∠B又AB＝AC知∠C＝∠B有∠C＝∠FDC有DF＝FC有DE＝AF故DE＋DF＝AF＋FC＝AC＝AB例6.如图6，在ΔABC中，D、E分别是其AB、AC的中点，说明：图6解：（1）先延长DE至F，使得DE＝EF故在四边形ADCF中，AE＝EC，DE＝EF四边形AFCD是平行四边形CF//AD，即CF//AB，CF//DB而CF＝AD，AD＝DB有CF＝DB知四边形DBCF是平行四边形有DF//BC，即DE//BC说明：（1）此题的证明方法用的是构造法在知道中点较多的情况下，尽可能构造出两组线段互相平分，得到平行四边形，用平行四边形的知识作桥梁，将条件转化，得到结论。（2）此题的结果是三角形中的一条关于中位线的性质：中位线：连接中点的连线段。性质：中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。二.关于特殊平行四边形的一些典型题目：例7.如图7，在矩形ABCD中，E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE于F，说明CE＝FE。图7解：连结DE因为四边形ABCD是矩形，所以∠ADC＝90°，∠CDE＋∠ADE＝90°因为DF⊥AE所以∠EDF＋∠AED＝90°因为AE＝AD∠ADE＝∠AED故∠CDE＝∠EDF（等角的余角相等）因为DF⊥AE，CD⊥BC所以CE＝FE（角平分线上的点到角两边距离相等）注意：这里DF⊥AE，CD⊥BC，要说明EC＝EF，只要说明DE是∠CDF的平分线即可。即要说明两条线段相等，只需说明这两条线段是某一个角的平分线上的点到角的两边的距离即可。例8.如图8，在矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，求∠BOE的度数。图8解：因为四边形ABCD是矩形，所以∠BAD＝90°，∠ABC＝90°因为AE平分∠BAD所以∠BAE＝45°＝∠AEB所以AB＝BE因为∠CAE＝15°所以∠OAB＝60°因为OA＝OB故∠OBA＝60°，OB＝AB所以∠OBE＝30°，OB＝...
