23．3.4相似三角形的应用会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度．自己设计方案测量高度，体会相似三角形在解决实际问题中的广泛应用．重点构建相似三角形解决实际问题．难点把实际问题抽象为数学问题，利用相似三角形来解决．一、情境引入复习1．相似三角形有哪些性质？2．如图，点B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BF，DE⊥BF，AC∥DF.(1)△DEF与△ABC相似吗？为什么？(2)若DE＝1，EF＝2，BC＝10，那么AB等于多少？[(1)△DEF∽△ABC.(2)AB＝5.]二、探究新知教师结合多媒体展示，引导学生分析．第二题我们根据两个三角形相似，对应边成比例，列出比例式计算出AB的长．人们从很早开始，就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度．教师课件展示例1，可由学生小组讨论交流，代表发言，教师点评．例1古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果O′B′＝1米，A′B′＝2米，AB＝274米，求金字塔的高度OB.【分析】因为太阳光是互相平行的，易得△A′O′B′∽△AOB，从而求得OB的长度．解：∵太阳光是平行光线即O′A′∥OA，∴∠OAB＝∠O′A′B′.又∵∠ABO＝∠A′B′O′＝90°，∴△OAB∽△O′A′B′.∴＝，∴OB＝＝137(米)．答：金字塔的高度OB为137米．教师多媒体展示例2，3，可由学生自主完成，点名上台展示，教师点评．例2如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边上选定点B和C，使AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB.解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，∴△ABD∽△ECD(两角分别相等的两个三角形相似)，∴＝，解得AB＝＝＝100(米)．答：两岸间的大致距离AB为100米．这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法．例3如图，已知点D，E是△ABC的边AB，AC上的点，且∠ADE＝∠C.求证：AD·AB＝AE·AC.【分析】把等积式化为比例式＝，猜想△ADE与△ABC相似，从而找条件加以证明．证明：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB(两角分别相等的两个三角形相似)，∴＝，∴AD·AB＝AE·AC.三、练习巩固1．如图，一条河的两岸有一段是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间隔都是10m，在这岸离开岸边16m处看对岸，看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸两棵树的树干遮住，这岸的两棵树之间有一棵树，但对岸被遮住的两棵树之间有四棵树，这段河的河宽是多少米？【教学说明】先由实际问题建立相似的数学模型，可先证得△ABE∽△ACD，再根据对应线段成比例可求出河宽，即线段BC的长．2．亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人用测量影子方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D，然后测出两人之间的距离CD＝1.25m，颖颖与楼之间的距离DN＝30m(C，D，N在一条直线上)，颖颖的身高BD＝1.6m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC＝0.8m，你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？【教学说明】过点A作MN的垂线段，构造相似三角形．四、小结与作业小结这节课你学习了哪些知识，有哪些收获？还有哪些疑问？布置作业从教材相应练习和“习题23.3”中选取．本节课以生活实例为情境，引导学生探究如何建立相似的数学模型，构造相似三角形，把实际问题转化为数学问题(相似)来解决，进一步提高学生应用数学知识的能力．
