数列的综合应用探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点数列求和掌握数列的求和方法2019天津,18,13分数列求和(错位相减法)求通项公式★★★2017课标全国Ⅲ,17,12分数列求和(裂项相消法)由递推式求通项公式数列的综合应用能综合应用等差、等比数列解决相应问题2016课标全国Ⅰ,17,12分等差、等比数列的综合问题等差数列的判定★★★分析解读综合运用数列,特别是等差数列、等比数列的有关知识,解答数列综合问题和实际问题,培养学生的理解能力、数学建模能力和运算能力.数列是特殊的函数,是高考的常考点.历年高考考题中低、中、高档试题均有出现,需引起充分的重视.本节内容在高考中分值为12分左右,属于中档题.破考点练考向【考点集训】考点一数列求和1.(2018福建闽侯第八中学期末,16)已知数列{nan}的前n项和为Sn,且an=2n,则使得Sn-nan+1+50<0的最小正整数n的值为.答案52.(2019湖南郴州第二次教学质量监测,16)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an=2bn(n∈N*),若数列{an}为等比数列,且a1=2,a4=16,则数列{1bn}的前n项和Sn=.答案2nn+13.(2018河南、河北两省联考,18)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=5,nSn+1-(n+1)Sn=n2+n.(1)求证:数列{Snn}为等差数列;(2)令bn=2nan,求数列{bn}的前n项和Tn.答案(1)证明:由nSn+1-(n+1)Sn=n2+n得Sn+1n+1-Snn=1,又S11=5,所以数列{Snn}是首项为5,公差为1的等差数列.(2)由(1)可知Snn=5+(n-1)=n+4,所以Sn=n2+4n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+4n-(n-1)2-4(n-1)=2n+3.又a1=5符合上式,所以an=2n+3(n∈N*),所以bn=(2n+3)2n,所以Tn=5×2+7×22+9×23+…+(2n+3)2n,①2Tn=5×22+7×23+9×24+…+(2n+1)2n+(2n+3)2n+1,②所以②-①得Tn=(2n+3)2n+1-10-(23+24+…+2n+1)=(2n+3)2n+1-10-23(1-2n-1)1-2=(2n+3)2n+1-10-(2n+2-8)=(2n+1)2n+1-2.考点二数列的综合应用1.(2018福建漳州期末调研测试,5)等差数列{an}和等比数列{bn}的首项均为1,公差与公比均为3,则ab1+ab2+ab3=()A.64B.32C.38D.33答案D2.(2018河南商丘第二次模拟,6)已知数列{an}满足a1=1,an+1-an≥2(n∈N*),且Sn为{an}的前n项和,则()A.an≥2n+1B.Sn≥n2C.an≥2n-1D.Sn≥2n-1答案B3.(2019福建晋江(安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学四校)期中,18)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{n+1an}的前n项和为Tn,求Tn以及Tn的最小值.答案(1)当n=1时,a1=2.当n≥2时,Sn-1=2an-1-2,所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,整理得anan-1=2(常数),所以数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,故an=2n.(2)令bn=n+1an,则bn=n+12n,所以Tn=221+322+…+n+12n①,12Tn=222+323+…+n+12n+1②,①-②,得12Tn=32-n+32n+1,所以Tn=3-n+32n,令cn=n+32n,则cn+1cn=n+42n+6<1,所以cn>cn+1,从而数列{Tn}是单调递增数列,所以Tn≥T1=1.故Tn的最小值为1.4.(命题标准样题,16)设三角形的边长为不相等的整数,且最大边长为n,这些三角形的个数为an.(1)求数列{an}的通项公式;(2)在1,2,…,100中任取三个不同的整数,求它们可以是一个三角形的三条边长的概率.附:1+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6.答案本题考查三角形三边的关系、数列的概念、通项公式,等差数列求和,古典概型等数学知识.试题将数列与概率相结合,体现了理性思维、数学探究的学科素养,考查了逻辑推理能力、运算求解能力和创新能力,落实了基础性、综合性、创新性的考查要求.(1)设x,y,n为满足题意的三角形的边长,不妨设xn.由题设,易得a1=a2=a3=0.当n≥4,且n为偶数时,若y≤n2,x不存在;若y=n2+1,则x为n2;若y=n2+2,则x为n2-1,n2,n2+1;……;若y=n-1,则x为2,3,…,n-2.所以an=1+3+…+(n-3)=(n-2)24.当n>4,且n为奇数时,可得an=2+4+…+(n-3)=(n-1)(n-3)4.所以{an}的通项公式为an={0,n=1,2,3,(n-2)24,n≥4,且n,为偶数(n-1)(n-3)4,n≥5,且n.为奇数(2)记Sn为数列{an}的前n项和.由(1)可得S100=14×(22+42+…+982)+14×(2×4+4×6+…+96×98)=(12+22+…+492)+12+22+…+482+(1+2+…+48)=49×50×1956.故所求概率为S100100×99×983×2×1=65132.炼技法提能力【方法集训】方法数列求和的方法1.(2018河南中原名校11月联考,10)设函数f(x)满足f(n+1)=2f(n)+n2...
