专题五平面向量【真题探秘】§5.1平面向量的概念及线性运算、平面向量的基本定理探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点平面向量的线性运算及其几何意义①理解平面向量的有关概念及向量的表示方法;②掌握向量加法、减法、数乘的运算,理解其几何意义;③理解两个向量共线的含义;④了解向量线性运算的性质及其几何意义2018课标全国Ⅰ,7,5分平面向量的混合运算—★★☆2017课标全国Ⅱ,4,5分平面向量的有关概念垂直、平行、模的关系平面向量基本定理及向量的坐标运算①了解平面向量基本定理及其意义;②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;③会用坐标对向量进行线性运算;④理解用坐标表示的平面向量共线的条件2018课标全国Ⅲ,13,5分平面向量的坐标运算两向量平行的充要条件★★☆2016课标全国Ⅱ,13,5分平面向量的坐标运算两向量平行的充要条件2019课标全国Ⅱ,3,5分平面向量的坐标运算向量的模分析解读从近几年的高考试题来看,高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,重点考查向量的概念、几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件和向量的坐标运算,此类问题一般难度不大.向量的有关概念、向量的线性运算、平面向量基本定理、向量的坐标运算等知识是平面向量的基础,高考主要考查基础运用,其中线性运算、坐标运算、平面向量基本定理是高考的重点与热点,要熟练掌握.破考点练考向【考点集训】考点一平面向量的线性运算及其几何意义1.(2020届西南地区名师联盟8月联考,2)如图,向量a-b等于()A.-e1+3e2B.-4e1-2e2C.e1-3e2D.-2e1-4e2答案A2.(2020届河北邢台第一次联考,5)如图,AB是圆O的一条直径,C,D是半圆弧的两个三等分点,则⃗AB=()A.⃗AC-⃗ADB.2⃗AC-2⃗ADC.⃗AD-⃗ACD.2⃗AD-2⃗AC答案D3.(2018吉林调研,8)已知a,b是不共线的非零向量,⃗AB=λa+b,⃗AC=a+μb(λ,μ∈R),若A,B,C三点共线,则λ,μ的关系一定成立的是()A.λμ=1B.λμ=-1C.λ-μ=1D.λ+μ=2答案A4.(2019广东普宁一中月考,9)在△OAB中,若点C满足⃗AC=2⃗CB,⃗OC=λ⃗OA+μ⃗OB,则1λ+1μ=()A.13B.23C.29D.92答案D考点二平面向量基本定理及向量的坐标运算1.(2018河北衡水中学五调,8)已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则m的取值范围是()A.(-∞,2)B.(2,+∞)C.(-∞,+∞)D.(-∞,2)∪(2,+∞)答案D2.(2020届山西长治二中等六校9月联考,3)已知平面向量a=(-1,2),b=(2,y),且a∥b,则3a+2b=()A.(-1,7)B.(-1,2)C.(1,2)D.(1,-2)答案D3.(2019四川成都石室中学一诊,15)在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E为DC边的中点,P为线段AE上的动点,设向量⃗AP=λ⃗DB+μ⃗AD,则λ+μ的最大值为.答案2炼技法提能力【方法集训】方法1向量共线问题的求解方法1.(2018福建漳州二模,5)已知点C(1,-1),D(2,x),若向量a=(x,2)与⃗CD的方向相反,则|a|=()A.1B.2C.2❑√2D.❑√2答案C2.设a,b是不共线的两个非零向量.(1)若⃗OA=2a-b,⃗OB=3a+b,⃗OC=a-3b,求证:A、B、C三点共线;(2)若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值;(3)设⃗OM=ma,⃗ON=nb,⃗OP=αa+βb,其中m,n,α,β均为实数,m≠0,n≠0,若M、N、P三点共线,求证:αm+βn=1.答案(1)证明: ⃗AB=⃗OB-⃗OA=(3a+b)-(2a-b)=a+2b,⃗BC=⃗OC-⃗OB=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2⃗AB,∴⃗AB与⃗BC共线,且有公共点B,∴A、B、C三点共线.(2) 8a+kb与ka+2b共线,∴存在实数λ,使得8a+kb=λ(ka+2b)(8-λk)a+(k-2λ)b=0.⇒ a与b为不共线的非零向量,∴{8-λk=0,k-2λ=08=2λ⇒2λ=±2.⇒∴k=2λ=±4.(3)证法一: M、N、P三点共线,∴存在实数μ,使得⃗MP=μ⃗PN,∴⃗OP=⃗OM+μ⃗ON1+μ=m1+μa+μn1+μb. a,b为不共线的非零向量,⃗OP=αa+βb,∴{α=m1+μ,β=μn1+μ.∴αm+βn=11+μ+μ1+μ=1.证法二: M、N、P三点共线,∴⃗OP=x⃗OM+y⃗ON,且x+y=1.由已知可得,xma+ynb=αa+βb,∴x=αm,y=βn,∴αm+βn=1.方法2利用平面向量基本定理解决问题的方法1.(2020届福建莆田一中摸底,6)如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若⃗AC=a,⃗BD=b,则⃗AF=()A.14a+12bB.12a+14bC....
