24分大题抢分练(三)(建议用时：30分钟)20．(12分)已知函数f(x)＝ax－1－lnx(a∈R).(1)讨论函数f(x)的定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的最大值．[解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－＝.①当a≤0时，f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(x)在(0，＋∞)上没有极值点．②当a＞0时，由f′(x)＞0得x＞.∴f(x)在上递减，在上递增，即f(x)在x＝处有极小值．综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上没有极值点；当a＞0时，f(x)在(0，＋∞)上有一个极值点．(2)∵函数f(x)在x＝1处取得极值，∴f′(1)＝a－1＝0，则a＝1，从而f(x)＝x－1－lnx.∵∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，∴∀x∈(0，＋∞)，1＋－≥b恒成立．令g(x)＝1＋－，则g′(x)＝，由g′(x)≥0得x≥e2，则g(x)在(0，e2)上递减，在(e2，＋∞)上递增．∴g(x)min＝g(e2)＝1－，故实数b的最大值是1－.21．(12分)已知动圆C过定点F2(1,0)，并且内切于定圆F1：(x＋1)2＋y2＝12.(1)求动圆圆心C的轨迹方程；(2)若曲线y2＝4x上存在两个点M，N，(1)中曲线上有两个点P，Q，并且M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，PQ⊥MN，求四边形PMQN的面积的最小值．[解](1)设动圆的半径为r，则|CF2|＝r，|CF1|＝2－r，所以|CF1|＋|CF2|＝2＞|F1F2|，由椭圆的定义知动圆圆心C的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，所以b＝，动圆圆心C的轨迹方程是＋＝1.(2)当直线MN的斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得|MN|＝4，|PQ|＝2，四边形PMQN的面积S＝4.当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，联立方程消元得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则|MN|＝＝＋4.因为PQ⊥MN，所以直线PQ的方程为y＝－(x－1)，由得(2k2＋3)x2－6x＋3－6k2＝0.设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则|PQ|＝＝.则四边形PMQN的面积S＝|MN||PQ|＝＝.令k2＋1＝t，t＞1，则S＝＝＝.因为t＞1，所以0＜＜1，易知－＋的范围是(0,2)，所以S＞＝4.综上可得S≥4，S的最小值为4.
