46分大题保分练(二)(建议用时:40分钟)17.(12分)(2020·武汉模拟)若等比数列{an}的前n项和为Sn,满足a4-a1=S3,a5-a1=15.(1)求数列{an}的首项a1和公比q;(2)若an>n+100,求n的取值范围.[解](1)∵a4-a1=S3,a5-a1=15.显然公比q≠1,∴,解得q=2,a1=1,(2)由(1)可得an=2n-1,∵an>n+100,即2n-1>n+100,解得n≥8.18.(12分)某公司为了预测下月产品销售情况,找出了近7个月的产品销售量y(单位:万件)的统计表:月份代码t1234567销售量y(万件)y1y2y3y4y5y6y7但其中数据污损不清,经查证∑yi=9.32,∑tiyi=40.17,=0.55.(1)请用相关系数说明销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系;(2)求y关于t的回归方程(系数精确到0.01);(3)公司经营期间的广告宣传费xi=(单位:万元)(i=1,2,…,7),每件产品的销售价为10元,预测第8个月的毛利润能否突破15万元,请说明理由.(毛利润等于销售金额减去广告宣传费)参考公式及数据:≈2.646,=1.414,相关系数r=,当|r|>0.75时认为两个变量有很强的线性相关关系,回归方程y=bt+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b=,a=-b.[解](1)由统计表中的数据和附注中的参考数据得=4,∑(ti-)2=28,=0.55,则∑(ti-)(yi-)=∑tiyi-∑yi=40.17-4×9.32=2.89,∴r=≈≈0.99,因为0.99>0.75,所以销售量y与月份代码t有很强的线性相关关系.(2)由=≈1.331及(1)得b==≈0.103.a=-b≈1.331-0.103×4≈0.92,所以y关于t的回归方程为y=0.10t+0.92.(3)当t=8时,代入回归方程得y=0.10×8+0.92=1.72(万件),第8个月的毛利润为z=10×1.72-≈17.2-2×1.414=14.372(万元).由14.372<15,预测第8个月的毛利润不能突破15万元.19.(12分)如图,在多面体ABCDEF中,平面ADEF⊥平面ABCD,四边形ADEF为正方形,四边形ABCD为梯形,且AD∥BC,∠BAD=90°,AB=AD=BC.(1)求证:AD∥平面BCEF.(2)求证:BD⊥平面CDE.[证明](1)因为四边形ADEF为正方形,所以AD∥EF,由于EF⊂平面BCEF,AD⊄平面BCEF,所以AD∥平面BCEF.(2)因为四边形ADEF为正方形,所以DE⊥AD,因为平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD.所以DE⊥平面ABCD,所以DE⊥BD.取BC中点N,连接DN.由BN∥AD,BN=AD,∠BAD=90°,可得四边形ABND为正方形.所以DN=AB,所以DN=BC,所以BD⊥CD.因为CD∩DE=D,所以BD⊥平面CDE.选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.(10分)[选修4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),直线l的方程为y=kx.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)曲线C与直线l交于A,B两点,若|OA|+|OB|=2,求k的值.[解](1)由(α为参数),消去参数得其普通方程为x2-4x+y2+1=0,由得曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ+1=0.(2)设直线l的极坐标方程为θ=θ1,其中θ1为直线l的倾斜角,代入曲线C得ρ2-4ρcosθ1+1=0.设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,所以Δ=16cos2θ1-4>0,ρ1+ρ2=4cosθ1,ρ1ρ2=1>0,因为|OA|+|OB|=|ρ1|+|ρ2|=|ρ1+ρ2|=2,所以cosθ1=±,满足Δ>0,所以θ1=或,即l的倾斜角为或,则k=tanθ1=或-.23.(10分)[选修4-5:不等式选讲]已知函数f(x)=|x-4a|+|x|,a∈R.(1)若不等式f(x)≥a2对∀x∈R恒成立,求实数a的取值范围;(2)设实数m为(1)中a的最大值,若实数x,y,z满足4x+2y+z=m,求(x+y)2+y2+z2的最小值.[解](1)因为f(x)=|x-4a|+|x|≥|x-4a-x|=4|a|,所以a2≤4|a|,解得-4≤a≤4.故实数a的取值范围为[-4,4].(2)由(1)知,m=4,即4x+2y+z=4.根据柯西不等式(x+y)2+y2+z2=[(x+y)2+y2+z2]·[42+(-2)2+12]≥[4(x+y)-2y+z]2=,等号在==z即x=,y=-,z=时取得.所以(x+y)2+y2+z2的最小值为.