九类常见递推数列求通项公式方法60079VIP免费

递推数列通项求解方法举隅类型一：（）思路1（递推法）：………。思路2（构造法）：设，即得，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即。例1已知数列满足且，求数列的通项公式。解：方法1（递推法）：………。方法2（构造法）：设，即，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即。类型二：思路1（递推法）：…。思路2（叠加法）：，依次类推有：、、…、，将各式叠加并整理得，即。例2已知，，求。解：方法1（递推法）：………。方法2（叠加法）：，依次类推有：、、…、，将各式叠加并整理得，。类型三：思路1（递推法）：……。思路2（叠乘法）：，依次类推有：、、…、，将各式叠乘并整理得…，即…。例3已知，，求。解：方法1（递推法）：…。方法2（叠乘法）：，依次类推有：、、…、、，将各式叠乘并整理得…，即…。类型四：思路（特征根法）：为了方便，我们先假定、。递推式对应的特征方程为，当特征方程有两个相等实根时，(、为待定系数，可利用、求得)；当特征方程有两个不等实根时、时，(、为待定系数，可利用、求得)；当特征方程的根为虚根时数列的通项与上同理，此处暂不作讨论。例4已知、,,求。解：递推式对应的特征方程为即，解得、。设，而、，即，解得，即。类型五：（）思路（构造法）：，设，则，从而解得。那么是以为首项，为公比的等比数列。例5已知，，求。解：设，则，解得，是以为首项，为公比的等比数列，即，。类型六：（且）思路（转化法）：，递推式两边同时除以得，我们令，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。例6已知，，求。解：，式子两边同时除以得，令，则，依此类推有、、…、，各式叠加得，即。类型七：（）思路（转化法）：对递推式两边取对数得，我们令，这样一来，问题就可以转化成类型一进行求解了。例7已知，，求。解：对递推式左右两边分别取对数得，令，则，即数列是以为首项，为公比的等比数列，即，因而得。类型八：（）思路（转化法）：对递推式两边取倒数得，那么，令，这样，问题就可以转化为类型一进行求解了。例8已知，，求。解：对递推式左右两边取倒数得即，令则。设，即，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即，。类型九：（、）思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为即。当特征方程有两个相等实根时，数列即为等差数列，我们可设（为待定系数，可利用、求得）；当特征方程有两个不等实根、时，数列是以为首项的等比数列，我们可设（为待定系数，可利用已知其值的项间接求得）；当特征方程的根为虚根时数列通项的讨论方法与上同理，此处暂不作讨论。例9已知，（），求。解：当时，递推式对应的特征方程为即，解得、。数列是以为首项的等比数列，设，由得则，，即，从而，。寒假专题——常见递推数列通项公式的求法重、难点：1.重点：递推关系的几种形式。2.难点：灵活应用求通项公式的方法解题。【典型例题】[例1]bkaann1型。（1）1k时，}{1nnnabaa是等差数列，)(1banban（2）1k时，设)(1makmann∴mkmkaann1比较系数：bmkm∴1kbm∴}1{kban是等比数列，公比为k，首项为11kba∴11)1(1nnkkbakba∴1)1(11kbkkbaann[例2])(1nfkaann型。（1）1k时，)(1nfaann，若)(nf可求和，则可用累加消项的方法。例：已知}{na满足11a，)1(11nnaann求}{na的通项公式。解： 111)1(11nnnnaann∴nnaann1111112121nnaann213132nnaann……312123aa21112aa对这（1n）个式子求和得：naan111∴nan12（2）1k时，当bannf)(则可设)()1(1BAnakBnAann∴ABkAnkkaann)1()1(1∴bABkaAk)1()1(解得：1kaA，2)1(1kakbB∴}{BAnan是以BAa1为首项，k为公比的等比数列∴11)(nnkBAaBAna∴BAnkBAaann11)(将A、B代入即可（3）nqnf)(（q0，1）等式两边同时除以1nq得qqaqkqannnn111令nnnqaC则qCqkCnn11∴}{nC可归为bkaann...