第1页共6页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第1页共6页随机变量的期望、方差的计算方法辛开远，杨玉华与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整的描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。这些数学特征在理论与实践上都具有重要的意义，本文介绍一维随机变量的常用数字特征：数学期望、方差。一、数学期望1．设离散型随机变量X的分布律为：p{X=xk}=pk，xk=1，2，…如果级数∑k=1+∞xkpk绝对收敛，则称级数∑k=1+∞xkpk的和为随机变量X的数学期望，即E(x)=∑k=1∞xkpk2．设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分∫−∞+∞xf(x)dx绝对收敛，则称积分∫−∞+∞xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望，即E(x)=∫−∞+∞xf(x)dx3．数学期望的性质（1）E(C)=C，（C为常数）（2）E(kX)=kE(X)，（k为常数，X是随机变量）（3）E(X+Y)=E(X)+E(Y)，（X，Y是两个随机变量）（4）若X，Y是相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y)二、随机变量的函数的数学期望设Y是X的函数，Y=g(X)。1．当X是离散型随机变量时，X的分布律为p{X=xk}=pk，k=1，2，…若级数∑k=1+∞g(xk)pk绝对收敛，则函数Y的数学期望为第2页共6页第1页共6页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第2页共6页E(Y)=E[g(X)]=∑k=1+∞g(xk)pk2．当X是连续型随机变量时，X的概率密度为f(x)，若积分∫−∞+∞g(x)f(x)dx绝对收敛，则函数Y的数学期望为E(Y)=E[g(X)]=∫−∞+∞g(x)f(x)dx三、方差设X是一个随机变量，若E{[X−E(X)]2}存在，则称它为X的方差，记作D(X)，即D(X)=E{[X−E(X)]2}则称√D(X)为X的均方差或者标准差。1．若X是离散型随机变量，则D(X)=∑k=1+∞[xk−E(X)]2pk2．若X是连续型随机变量，则D(X)=∫−∞+∞[x−E(X)]2f(x)dx方差D(X)反映了随机变量X取值分散的程度，D(X)越小，X的取值越集中。3．方差的性质（1）D(X)≥0；（2）D(C)=0，（其中C是常数）；（3）D(kX)=k2D(X)，其中k是常数，（4）若X，Y是两个相互独立的随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)（5）D(X)=0的充分必要条件是p{X=C}=1，这里C=E(X)；（6）D(X)=E(X2)−[E(X)]2常用公式（6）计算方差。四、矩1．X为离散型随机变量第3页共6页第2页共6页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第3页共6页（1）若E(Xk)=∑i=1+∞xikpi，k=1，2，…，存在，则称它为X的k阶原点矩。（2）若E{[X−E(X)]k}=∑i=1+∞[xi−E(X)]kpi存在，则称它为X的k阶中心矩。2．X为连续型随机变量（1）E(Xk)=∫−∞+∞xkf(x)dx存在，则称它为X的k阶原点矩。（2）若E{[X−E(X)]k}=∫−∞+∞[x−E(X)]kf(x)dx存在，则称它为X的k阶中心矩，其中，f(x)为X的概率密度。五、关于两个随机变量的函数Z=g(X,Y)的数学期望1．设(X,Y)是二维离散型随机变量，若其分布律为p{X=xi,Y=yi}=pij，（i,j=1，2，…），则E(Z)=E[g(X,Y)]=∑¿j=1+∞∑i=1+∞g(xi,yj)pij¿这里，等式右端的级数绝对收敛。2．设(X,Y)是二维连续型随机变量，若其概率密度为f(x,y)则E(Z)=E[g(X,Y)]=∫¿−∞+∞∫−∞+∞g(x,y)f(x,y)dxdy¿这里，等式右端的级数或积分绝对收敛。六、协方差和相关系数1．设(X,Y)是二维随机变量，若E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}存在，则称它是X和Y的协方差，记作Cov(X,Y)，即Cov(X,Y)=E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}（1）当(X,Y)为离散型随机变量时，Cov(X,Y)=∑¿j=1+∞∑i=1+∞[xi−E(X)][yj−E(Y)]pij¿（2）当(X,Y)是连续随机变量时，第4页共6页第3页共6页编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第4页共6页Cov(X,Y)=∫−∞+∞[x−E(X)][y−E(Y)]f(x,y)dxdy其中，f(x,y)是(X,Y)的概率密度。2．若D(X)＞0，D(Y)＞0，则称ρxy=Cov(X,Y)√D(X)√D(Y)为X和Y的相关系数。七、例题分析例1．设随机变量X的分布律为，求：E(X)，E(X2)，D(X)。解：E(X)=(−2)×0.4+0×0.3+2×0.3=−0.2E(X2)=(−2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8D(X)=E(X2)−[E(X)]2=2.8−(−0.2)2=2.76例2．设随机变量X1,X2的概率密度分别为fX1(x)¿{2e−2x,x≻0¿¿¿，fX2(x)¿{4e−4x,x≻0¿¿¿求：E(X1+X2)，D(X1)，D(X2)。解：E(X1+X2)=E(X1)+E...
