第三节函数的奇偶性与周期性A组基础题组1.下列函数中,值域为R的偶函数是()A.y=x2+1B.y=ex-e-xC.y=lg|x|D.y=答案Cy=x2+1是偶函数,值域为[1,+∞),∴A错误;y=ex-e-x是奇函数,∴B错误;y=lg|x|是偶函数,值域为R,∴C正确;y=的值域为[0,+∞),∴D错误.故选C.2.(2017北京丰台二模,2)下列函数中,既是偶函数又是(0,+∞)上的增函数的是()A.y=-x3B.y=2|x|C.y=D.y=log3(-x)答案B易知A中的函数为奇函数,C、D中的函数的定义域不关于原点对称,为非奇非偶函数,故选B.3.(2018北京石景山一模,2)下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数为()A.y=B.y=-x3C.y=loxD.y=x+答案B由定义可知选项A和C都是非奇非偶函数,可排除.D选项在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,可排除.只有B满足条件,故选B.4.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=()A.-3B.-1C.1D.3答案C解法一: f(x)-g(x)=x3+x2+1,∴f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1,又由题意可知f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),∴f(x)+g(x)=-x3+x2+1,则f(1)+g(1)=1,故选C.解法二:令f(x)=x2+1,g(x)=-x3,显然符合题意,则f(1)+g(1)=12+1-13=1.选C.5.(2017北京,5,5分)已知函数f(x)=3x-,则f(x)()A.是奇函数,且在R上是增函数B.是偶函数,且在R上是增函数C.是奇函数,且在R上是减函数D.是偶函数,且在R上是减函数答案A易知函数f(x)的定义域关于原点对称. f(-x)=3-x-=-3x=-f(x),∴f(x)为奇函数.又 y=3x在R上是增函数,y=-在R上是增函数,∴f(x)=3x-在R上是增函数.故选A.6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-),则a的取值范围是()A.B.∪C.D.答案C f(x)是偶函数且在(-∞,0)上单调递增,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(-)=f(),∴原不等式可化为f(2|a-1|)>f().故有2|a-1|<,即|a-1|<,解得
0时,f(x)=.(1)求当x<0时,f(x)的解析式;(2)解不等式f(x)<-.解析(1)因为f(x)是奇函数,所以当x<0时,-x>0,此时f(x)=-f(-x)=-=.(2)f(x)<-,当x>0时,<-,所以<-,所以>,所以3x-1<8,解得x<2,所以x∈(0,2);当x<0时,<-,所以>-,所以3-x>32,所以x<-2,所以原不等式的解集是(-∞,-2)∪(0,2).9.(2016北京东城期中)已知函数f(x)=为奇函数,a,b∈R.(1)求a-b的值;(2)若f(x)在区间[-1,m-2]上单调递增,求实数m的取值范围.解析(1)令x<0,则-x>0,则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x2+2x,所以a=1,b=2.所以a-b=-1.(2)由(1)可得f(x)=故f(x)在区间[-1,1]上单调递增.若f(x)在区间[-1,m-2]上单调递增,则应有[-1,m-2]⊆[-1,1],所以解得1
