第二节导数与函数的单调性A组基础题组1.函数f(x)=ex-ex,x∈R的单调递增区间是()A.(0,+∞)B.(-∞,0)C.(-∞,1)D.(1,+∞)答案D由题意知f'(x)=ex-e,令f'(x)>0,解得x>1,故选D.2.设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是()答案C由f'(x)的图象知,当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0,f(x)为增函数,当x∈(0,2)时,f'(x)<0,f(x)为减函数,当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)为增函数.故选C.3.已知函数f(x)=x2+2cosx,若f'(x)是f(x)的导函数,则函数y=f'(x)的图象大致是()答案A令g(x)=f'(x)=2x-2sinx,则g'(x)=2-2cosx,易知g'(x)≥0,所以函数f'(x)在R上单调递增.4.f(x)=x2-alnx在(1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为()A.a<1B.a≤1C.a<2D.a≤2答案D由f(x)=x2-alnx,得f'(x)=2x-, f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴2x-≥0,即a≤2x2在(1,+∞)上恒成立, x∈(1,+∞)时,2x2>2,∴a≤2.故选D.5.对于实数集R上的可导函数f(x),若(x2-3x+2)f'(x)<0恒成立,则在区间[1,2]上必有()A.f(1)≤f(x)≤f(2)B.f(x)≤f(1)C.f(x)≥f(2)D.f(x)≤f(1)或f(x)≥f(2)答案A由(x2-3x+2)f'(x)<0知,当x2-3x+2<0,即1
0,所以f(x)是区间[1,2]上的单调递增函数,所以在区间[1,2]上必有f(1)≤f(x)≤f(2).6.若函数f(x)=x2-ex-ax在R上存在单调递增区间,则实数a的取值范围是.答案(-∞,2ln2-2]解析 f(x)=x2-ex-ax,∴f'(x)=2x-ex-a, 函数f(x)=x2-ex-ax在R上存在单调递增区间,∴f'(x)=2x-ex-a≥0,即a≤2x-ex有解,令g(x)=2x-ex,则g'(x)=2-ex,令g'(x)=0,解得x=ln2,则当x0,g(x)单调递增,当x>ln2时,g'(x)<0,g(x)单调递减,∴当x=ln2时,g(x)取得最大值,且g(x)max=g(ln2)=2ln2-2,∴a≤2ln2-2.7.(2018北京丰台一模,20)已知函数f(x)=+alnx(a∈R).(1)当a=时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)在定义域内不单调,求a的取值范围.解析函数f(x)的定义域为(0,+∞),导函数f'(x)=-+=.(1)当a=时,因为f'(1)=-+=0,f(1)=,所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=.(2)f'(x)=(x>0),设函数f(x)在定义域内不单调时,a的取值集合是A;函数f(x)在定义域内单调时,a的取值集合是B,则A=∁RB.函数f(x)在定义域内单调等价于f'(x)≤0恒成立或f'(x)≥0恒成立,即aex-x≤0恒成立或aex-x≥0恒成立,等价于a≤恒成立或a≥恒成立.令g(x)=(x>0),则g'(x)=,由g'(x)>0得01,所以g(x)在(1,+∞)上单调递减.因为g(1)=,且x>0时,g(x)>0,所以g(x)∈.所以B=,所以A=.8.(2017北京东城二模)设函数f(x)=(x-a)ex,a∈R.(1)当a=1时,试求f(x)的单调增区间;(2)试求f(x)在[1,2]上的最大值.解析(1)对f(x)=(x-a)ex求导得f'(x)=(x-a+1)ex,当a=1时,f'(x)=x·ex,令f'(x)>0,得x>0,所以f(x)的单调增区间为(0,+∞).(2)f'(x)=(x-a+1)ex.令f'(x)=0,得x=a-1.所以当a-1≤1,即a≤2时,在[1,2]上,f'(x)≥0恒成立,f(x)单调递增;当a-1≥2,即a≥3时,在[1,2]上,f'(x)≤0恒成立,f(x)单调递减;当10,f(x)单调递增.综上,无论a为何值,当x∈[1,2]时,f(x)的最大值都为f(1)或f(2).f(1)=(1-a)e,f(2)=(2-a)e2,f(1)-f(2)=(1-a)e-(2-a)e2=(e2-e)a-(2e2-e).所以当a≥=时,f(1)-f(2)≥0,f(x)max=f(1)=(1-a)e.当a<=时,f(1)-f(2)<0,f(x)max=f(2)=(2-a)e2.9.(2018北京丰台二模,19)已知函数f(x)=(x-a)cosx-sinx,x∈(0,π)(a∈R).(1)求f(x)的单调区间;(2)若对于任意x1∈(0,π),存在x2∈(0,π),都有f(x1)>-2x2-1,求a的取值范围.解析(1)f'(x)=-(x-a)sinx.因为x∈(0,π),所以sinx>0.令f'(x)=0,得x=a.当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在(0,π)上单调递减;当a≥π时,f'(x)>0,f(x)在(0,π)上单调递增;当0
