第四节导数与函数的综合问题A组基础题组1.(2017北京西城一模,18)已知函数f(x)=ex-x2.设直线l为曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线,其中x0∈[-1,1].(1)求直线l的方程(用x0表示);(2)设O为原点,直线x=1分别与直线l和x轴交于A,B两点,求△AOB的面积的最小值.解析(1)对f(x)求导,得f'(x)=ex-x,所以直线l的斜率为f'(x0)=-x0,由此得直线l的方程为y-=(-x0)(x-x0),即y=(-x0)x+(1-x0)+.(2)依题意B(1,0),设A(1,y1),在切线方程中令x=1,得y1=(-x0)+(1-x0)+=(2-x0).所以S△AOB=|OB|·|y1|==,x0∈[-1,1].设g(x)=,x∈[-1,1],则g'(x)=-+=-(x-1)(ex-1).令g'(x)=0,得x=0或x=1.当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,1)1g'(x)-0+g(x)↘1↗所以g(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,所以g(x)min=g(0)=1,从而△AOB的面积的最小值为1.思路分析(1)利用导数的几何意义求切线方程;(2)结合点A,B的坐标,用x0表示三角形AOB的面积,构造函数,利用导数求△AOB面积的最小值.方法点拨利用题目中的条件构造函数,再利用导数研究函数的单调性和最值.2.(2018北京东城二模,19)已知函数f(x)=xsinx+cosx+ax2,x∈[-π,π].(1)当a=0时,求f(x)的单调区间;(2)当a>0时,讨论f(x)的零点个数.解析(1)当a=0时,f(x)=xsinx+cosx,x∈[-π,π],f'(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx.当x在区间[-π,π]上变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x-π-0πf'(x)+0-0+0-f(x)-1↗极大值↘极小值1↗极大值↘-1所以f(x)的单调增区间为,;f(x)的单调减区间为,.(2)任取x∈[-π,π].因为f(-x)=(-x)sin(-x)+cos(-x)+a(-x)2=xsinx+cosx+ax2=f(x),所以f(x)是偶函数.f'(x)=ax+xcosx=x(a+cosx).当a≥1时,a+cosx≥0在[0,π]上恒成立,所以x∈[0,π]时,f'(x)≥0.所以f(x)在[0,π]上单调递增.又因为f(0)=1,所以f(x)在[0,π]上无零点.又因为f(x)是偶函数,所以f(x)在[-π,π]上无零点.当0
0,f(x)单调递增;当x∈(x0,π)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.因为f(0)=1,f(x0)>1,f(π)=aπ2-1,所以①当aπ2-1>0,即时,f(x)无零点.3.(2018北京朝阳一模,18)已知函数f(x)=-ax.(1)当a=2时,(i)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(ii)求函数f(x)的单调区间;(2)若10,且-lnx>0,则f'(x)>0;在区间(1,+∞)上,2-2x2<0,且-lnx<0,则f'(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).(2)证明:由x>0,f(x)<-1,知-ax<-1,等价于ax2-x+1-lnx>0.设h(x)=ax2-x+1-lnx,只需证h(x)>0成立.h'(x)=2ax-1-=,10,则h(x)的最小值为h(x0)=a-x0+1-lnx0=-x0+1-lnx0=-lnx0.又h'(1)=2a-2>0,h'=a-3<0,所以0,-lnx0>0.因此-lnx0>0,即h(x0)>0,所以h(x)>0,所以f(x)<-1.4.(2017北京朝阳二模,19)已知函数f(x)=ex+x2-x,g(x)=x2+ax+b,a,b∈R.(1)当a=1时,求函数F(x)=f(x)-g(x)的单调区间;(2)若曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线l与曲线y=g(x)相切于点(1,c),求a,b,c的值;(3)若f(x)≥g(x)恒成立,求a+b的最大值.解析(1)由题意可得F(x)=ex-2x-b,则F'(x)=ex-2,令F'(x)>0,得x>ln2,所以F(x)在(ln2,+∞)上单调递增;令F'(x)<0,得x0,所以h(x)在(-∞,+∞)上单调递增,a.若a+1=0,则当b≤0时满足条件,此时a+b≤-1;b.若a+1<0...
