第2讲函数的单调性与最值[基础题组练]1．下列四个函数中，在(0，∞＋)上为增函数的是()A．f(x)＝3－xB．f(x)＝x2－3xC．f(x)＝－D．f(x)＝－|x|解析：选C.对于A，当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；对于B，当x∈时，f(x)＝x2－3x为减函数，当x∈时，f(x)＝x2－3x为增函数；对于C，当x∈(0，∞＋)时，f(x)＝－为增函数；对于D，当x∈(0，∞＋)时，f(x)＝－|x|为减函数．2．函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是()A．[1，2]B．[－1，0]C．[0，2]D．[2，∞＋)解析：选A.由于f(x)＝|x－2|x＝结合图象可知函数的单调减区间是[1，2]．3．已知函数f(x)＝x3＋(a>0)的最小值为8，则实数a＝()A．1B．2C．4D．8解析：选B.由x－a≥0，得x≥a，故函数的定义域为[a，∞＋)．因为函数f(x)在[a，∞＋)上单调递增，所以f(x)min＝f(a)＝a3＝8，解得a＝2.故选B.4．“”定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a
0，x>0)．(1)求证：f(x)在(0，∞＋)上是增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．解：(1)证明：任取x1>x2>0，则f(x1)－f(x2)＝－－＋＝，因为x1>x2>0，所以x1－x2>0，x1x2>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(0，∞＋)上是增函数．(2)由(1)可知，f(x)在上为增函数，所以f＝－2＝，f(2)＝－＝2，解得a＝.8．已知f(x)＝(x≠a)．(1)若a＝－2，试证明f(x)在(∞－，－2)上单调递增；(2)若a>0且f(x)在(1，∞＋)上单调递减，求a的取值范围．解：(1)证明：设x10，x1－x2<0，所以f(x1)0，x2－x1>0，所以要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，所以a≤1.综上所述，a的取值范围为(0，1]．[综合题组练]1．已知函数f(x)＝对任意的x1≠x2都有(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]>0成立，则实数a的取值范围是()A．(∞－，3]B．(∞－，3)C．(3，∞＋)D．[1，3)解析：选D.由(x1－x2)[f(x2)－f(x1)]>0，得(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0，所以函数f(x)在R上单调递减，所以解得1≤a＜3.故选D.2．(应用型)已知函数f(x)在[0，∞＋)上为增函数，g(x)＝－f(|x|)，若g(lgx)>g(1)，则x的取值范围是()A．(0，10)B．(10，∞＋)C.D.∪(10，∞＋)解析：选C.因为g(lgx)>g(1)，g(x)＝－f(|x|)，所以－f(|lgx|)>－f(1)，所以f(|lgx|)2时，h(x)＝3－x是减函数，所以h(x)在x＝2时，取得最大值h(2)＝1.答案：15．已知函数f(x)＝ax＋(1－x)(a>0)，且f(x)在[0，1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值．解：f(x)＝x＋，当a>1时，a－>0，此时f(x)在[0，1]上为增函数，所以g(a)＝f(0)＝；当0
