第10讲定值、定点、探索性问题[基础题组练]1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与双曲线交于B，C两点，且∠BF1C＝60°，则该双曲线的离心率为()A.B.C.D．2解析：选C.不妨设点B在x轴的上方，则点B的坐标为，由于∠BF1C＝60°，则＝tan30°＝，得e2－2e－＝0，即(e＋1)(e－)＝0，得e＝.故选C.2．椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过点F1.若△ABF2的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1－y2|的值为()A.B.C.D.解析：选D.由题意知，c＝＝＝3，所以椭圆的焦点为F1(－3，0)，F2(3，0)．设△ABF2的内切圆半径为r.因为△ABF2的内切圆周长为π，所以r＝.根据椭圆的定义，有|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝20，所以S△ABF2＝(|AB|＋|AF2|＋|BF2|)×r＝×4a×r＝5＝×2c×|y1－y2|＝3|y1－y2|，所以|y1－y2|＝.故选D.3．(2019·安徽合肥模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为________．解析：由e2＝1－＝，得＝.设M(x，y)，A(m，n)，则B(－m，－n)，k1·k2＝·＝，①把y2＝b2，n2＝b2代入①式并化简，可得k1·k2＝－＝－.答案：－4．已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且OA·OB＝－16，求证：直线AB恒过定点．解：(1)设P(x，y)，则＝(y＋1)＋1⇒x2＝8y.所以E的方程为x2＝8y.(2)证明：易知直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将直线AB的方程代入x2＝8y中，得x2－8kx－8b＝0，所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b.OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝－8b＋b2＝－16⇒b＝4，所以直线AB恒过定点(0，4)．5．(2019·黑龙江齐齐哈尔八中模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线l1与椭圆C交于A，B两点，且|AB|＝，直线l2：y＝k(x－m)与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点Q，若QM·QN是一个与k无关的常数，求实数m的值．解：(1)联立方程，得解得y＝±，故＝.又e＝＝，a2＝b2＋c2，所以a＝，b＝1，c＝1，故椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程，得消元得(1＋2k2)x2－4mk2x＋2k2m2－2＝0，所以Δ＝16m2k4－4(1＋2k2)(2k2m2－2)＝8(2k2－m2k2＋1)，x1＋x2＝，x1x2＝，QM·QN＝＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋＋k2(x1－m)(x2－m)＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋＋k2m2＝＋，又QM·QN是一个与k无关的常数，所以3m2－5m－2＝－4，即3m2－5m＋2＝0，解得m1＝1，m2＝，因为m>，所以m＝1.当m＝1时，Δ>0，直线l2与椭圆C交于两点，满足题意．[综合题组练]1．(2019·湖北省五校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0.(1)求证：k1·k2＝－；(2)试探求△OPQ的面积S是否为定值，并说明理由．解：(1)证明：因为k1，k2存在，所以x1x2≠0，因为m·n＝0，所以＋y1y2＝0，所以k1·k2＝＝－.(2)①当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时，由＝－，得－y＝0，又由P(x1，y1)在椭圆上，得＋y＝1，所以|x1|＝，|y1|＝，所以S△POQ＝|x1|·|y1－y2|＝1.②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b(b≠0)．由得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，Δ＝64k2b2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(4k2＋1－b2)>0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.因为＋y1y2＝0，所以＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1，满足Δ>0.所以S△POQ＝·|PQ|＝|b|＝2|b|·＝1.所以△POQ的面积S为定值．2．(综合型)(2019·西安市八校联考)已知直线l：x＝my＋1过椭圆C：＋＝1的右焦点F，抛物线x2＝4y的焦点为椭圆C的上顶点，且l交椭圆C于A，B两点，点A，F，B在直线x＝4上的射影依次为D，K，E.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M，且MA＝λ1AF，MB＝λ2BF，当m变化时，证明：λ1＋λ2为定值；(3)当m变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，...
