第1课时利用导数解决不等式问题[基础题组练]1．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A．(∞－，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，∞＋)C．(∞－，－1)∪(－1，0)D．(0，1)∪(1，∞＋)解析：选A.设y＝g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，所以g′(x)<0，所以g(x)在(0，∞＋)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.因为f(x)为奇函数，所以g(x)为偶函数，所以g(x)的图象的示意图如图所示．当x＞0，g(x)＞0时，f(x)＞0，00，x<－1，所以使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(∞－，－1)∪(0，1)，故选A.2．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是()A．a≤1B．a≥1C．a≤2D．a≥2解析：选A.由题意知f(x)min≥g(x)min(x∈[2，3])，因为f(x)min＝5，g(x)min＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1，故选A.3．(2019·郑州第二次质量预测)设函数f(x)＝ax2－(x＋1)lnx，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为0.(1)求a的值；(2)求证：当0＜x≤2时，f(x)＞x.解：(1)f′(x)＝2ax－lnx－1－，由题意，可得f′(1)＝2a－2＝0，所以a＝1.(2)证明：由(1)得f(x)＝x2－(x＋1)lnx，要证当0＜x≤2时，f(x)＞x，只需证当0＜x≤2时，x－－lnx＞，令g(x)＝x－lnx，h(x)＝＋，由g′(x)＝1－＝0，得x＝1，易知g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增，故当0＜x≤2时，g(x)min＝g(1)＝1.h′(x)＝，当0＜x≤2时，h′(x)＞0，所以h(x)在(0，2]上单调递增，故当0＜x≤2时，h(x)max＝h(2)＝＜1，即h(x)max＜g(x)min，故当0＜x≤2时，h(x)＜g(x)，即当0＜x≤2时，f(x)＞x.4．(2019·武汉武昌调研)已知函数f(x)＝lnx＋，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a＞0时，证明f(x)≥.解：(1)f′(x)＝－＝(x＞0)．当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，∞＋)上单调递增．当a＞0时，若x＞a，则f′(x)＞0，函数f(x)在(a，∞＋)上单调递增．若0＜x＜a，则f′(x)＜0，函数f(x)在(0，a)上单调递减．(2)证明：由(1)知，当a＞0时，f(x)min＝f(a)＝lna＋1.要证f(x)≥，只需证lna＋1≥，即证lna＋－1≥0.令函数g(a)＝lna＋－1，则g′(a)＝－＝(a＞0)，当0＜a＜1时，g′(a)＜0，当a＞1时，g′(a)＞0，所以g(a)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(a)min＝g(1)＝0.所以lna＋－1≥0恒成立，所以f(x)≥.[综合题组练]1．(2019·贵州适应性考试)已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)∃x0∈(0，∞＋)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求a的取值范围．解：(1)因为f′(x)＝a－ex，x∈R.当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在R上单调递减；当a＞0时，令f′(x)＝0得x＝lna.由f′(x)＞0得f(x)的单调递增区间为(∞－，lna)；由f′(x)<0得f(x)的单调递减区间为(lna，∞＋)．综上，当a≤0时，f(x)的单调减区间为R；当a＞0时，f(x)的单调增区间为(∞－，lna)；单调减区间为(lna，∞＋)．(2)因为∃x0∈(0，∞＋)，使不等式f(x)≤g(x)－ex，则ax≤，即a≤.设h(x)＝，则问题转化为a≤()max，由h′(x)＝，令h′(x)＝0，则x＝.当x在区间(0，∞＋)内变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0，)(，∞＋)h′(x)＋0－h(x)极大值由上表可知，当x＝时，函数h(x)有极大值，即最大值为.所以a≤.2．(综合型)(2019·陕西质量检测(一))已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x－1.(1)求函数y＝f(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2)证明：f(x)≤g(x)；(3)若不等式f(x)≤ag(x)对任意的x∈(1，∞＋)均成立，求实数a的取值范围．解：(1)因为f′(x)＝，所以f′(1)＝1.又f(1)＝0，所以切线的方程为y－f(1)＝f′(1)(x－1)，即所求切线的方程为y＝x－1.(2)证明：设h(x)＝f(x)－g(x)＝lnx－x＋1，则h′(x)＝－1，令h′(x)＝0，得x＝1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：x(0，1)1(1，∞＋)h′(x)＋0－h(x)极大值所以h(x)≤h(x)max＝h(1)＝0，即f(x)≤g(x)．(3)易知对任意的x∈(1，∞＋)，f(x)＞0，g(x)＞0.①当a≥1时，f(x)≤g(x)≤ag(x)；②当a≤0时，f(x)＞0，ag(x)≤0，所以不满足不等式f(x)≤ag(x)；③当0＜a＜1时，设φ(x)＝f(x)－ag(x)＝lnx－a(x－1)，则φ′(x)＝－a，令φ′(x)＝0，得x＝，当x变化时，φ′(x)，φ(x)的变化情况下表：xφ′(x)＋0－φ(x)极大值所以φ(x)max＝φ＞φ(1)＝0，不满足不等式．综上，实数a的取值范围为[1，∞＋)．
