第5讲第2课时三角函数的图象与性质(二)[基础题组练]1.f(x)=tanx+sinx+1,若f(b)=2,则f(-b)=()A.0B.3C.-1D.-2解析:选A.因为f(b)=tanb+sinb+1=2,即tanb+sinb=1.所以f(-b)=tan(-b)+sin(-b)+1=-(tanb+sinb)+1=0.2.(2019·南宁二中、柳州高中联考)下列函数中同时具有以下性质的是()①最小正周期是π;②图象关于直线x=对称;③在上是增函数;④图象的一个对称中心为.A.y=sinB.y=sinC.y=sinD.y=sin解析:选C.因为最小正周期是π,所以ω=2,排除A选项;当x=时,对于B,y=sin=0,对于D,y=sin=,又图象关于直线x=对称,从而排除B,D选项,因此选C.3.(2019·无锡期末)在函数①y=cos|2x|;②y=|cos2x|;③y=cos;④y=tan2x中,最小正周期为π的所有函数的序号为________.解析:①y=cos|2x|=cos2x,最小正周期为π;②y=cos2x,最小正周期为π,由图象知y=|cos2x|的最小正周期为;③y=cos的最小正周期T==π;④y=tan2x的最小正周期T=.因此①③的最小正周期为π.答案:①③4.若函数y=cos(ω∈N*)图象的一个对称中心是,则ω的最小值为________.解析:由题意知+=kπ+(k∈Z)⇒ω=6k+2(k∈Z),又ω∈N*,所以ωmin=2.答案:25.已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sinxcosx(x∈R).(1)求f的值;(2)求f(x)的单调递增区间.解:(1)由sin=,cos=-,得f=--2××=2.(2)由cos2x=cos2x-sin2x,sin2x=2sinxcosx,得f(x)=-cos2x-sin2x=-2sin.由正弦函数的性质,得+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间是,k∈Z.6.(2019·合肥第二次教学质量检测)已知函数f(x)=sinωx-cosωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y=f(x)图象的对称轴方程;(2)讨论函数f(x)在上的单调性.解:(1)因为f(x)=sinωx-cosωx=sin,且T=π,所以ω=2.于是,f(x)=sin.令2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),即函数f(x)图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).(2)令2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).注意到x∈,所以令k=0,得函数f(x)在上的单调递增区间为;同理,其单调递减区间为.[综合题组练]1.(2019·郑州第二次质量预测)已知函数f(x)=sin(x∈R),下列说法错误的是()A.函数f(x)的最小正周期是πB.函数f(x)是偶函数C.函数f(x)的图象关于点中心对称D.函数f(x)在上是增函数解析:选D.因为f(x)=sin=-sin=cos2x,所以函数f(x)是偶函数,且最小正周期T==π,故A,B正确;由2x=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),当k=0时,x=,所以函数f(x)的图象关于点中心对称,故C正确;当x∈时,2x∈[0,π],所以函数f(x)在上是减函数,故D不正确.故选D.2.(2019·石家庄质量检测(一))若函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)(0<θ<π)的图象关于对称,则函数f(x)在上的最小值是()A.-1B.-C.-D.-解析:选B.f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)=2sin,则由题意,知f=2sin=0,又0<θ<π,所以θ=,所以f(x)=-2sin2x,f(x)在上是减函数,所以函数f(x)在上的最小值为f=-2sin=-,故选B.3.已知函数f(x)=sinωx+cosωx(x∈R),又f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的最小值是,则正数ω的值为()A.1B.2C.3D.4解析:选D.函数f(x)=sinωx+cosωx=2sin.由f(α)=2,f(β)=2,且|α-β|的最小值是,所以函数f(x)的最小正周期T=,所以ω==4.4.(2019·昆明高三摸底调研测试)已知函数f(x)=sinωx的图象关于点对称,且f(x)在上为增函数,则ω=()A.B.3C.D.6解析:选A.因为函数f(x)=sinωx的图象关于对称,所以π=kπ(k∈Z),即ω=k(k∈Z)①,又函数f(x)=sinωx≤在区间上是增函数,所以且ω>0,所以0<ω≤2②,由①②得ω=,故选A.5.已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+b对任意实数x有f=f(-x)恒成立,且f=1,则实数b的值为________.解析:由f=f(-x)可知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+b关于直线x=对称,又函数f(x)在对称轴处取得最值,故±2+b=1,所以b=-1或b=3.答案:-1或36.已知函数f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=3·cos(2x+φ)的图象的对称中心...