word格式-可编辑-感谢下载支持导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1.求导后,导函数的解析式含有参数,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),导函数为零的实根中有参数也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。★已知函数f(x)x3(a2)x22ax(a>0),求函数的单调区间f(x)x(a2)x2a(xa)(x2)★★例1已知函数f(x)x2a(a2)lnx(a>0)求函数的单调区间x1312x2(a2)x2a(x2)(xa)f(x)x2x22axa21★★★例3已知函数fxxR,其中aR。x21(Ⅰ)当a1时,求曲线yfx在点2,f2处的切线方程;(Ⅱ)当a0时,求函数fx的单调区间与极值。解:(Ⅰ)当a1时,曲线yfx在点2,f2处的切线方程为6x25y320。2a(x21)2(Ⅱ)由于a0,所以fx,由x211f'x0,得x1,x2a。这两个实根都在a定12axax2ax12x2axa1a'fx义域R内,但不知它们之间2222x1x122的大小。因此,需对参数a的取值分a0和a0两种情况进行讨论。(1)当a0时,则x1x2。易得fx在区间,1,a,内为减函数,a1fa2;a在区间11,a为增函数。故函数fx在x1处取得极小值aa函数fx在x2a处取得极大值fa1。(1)当a0时,则x1x2。易得fx在区间(,a),(1,)内为增函数,在区间a11(a,)为减函数。故函数fx在x1处取得极小值aa1fa2;函数afx在x2a处取得极大值fa1。以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点,在求解有关含参数的导数问题时,可按上述三word格式-可编辑-感谢下载支持点的顺序对参数进行讨论。因此,对含参数的导数问题的讨论,还是有一定的规律可循的。当然,在具体解题中,可能要讨论其中的两点或三点,这时的讨论就更复杂一些了,需要灵活把握。★★★(区间确定零点不确定的典例)例4某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每件产品需向总公司交a元(3≤a≤5)2的管理费,预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时,一年的销售量为(12-x)万件.(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式;(2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大,并求出L的最大值Q(a).2解(1)分公司一年的利润L(万元)与售价x的函数关系式为:L=(x-3-a)(12-x),x∈[9,11].2(2)L′(x)=(12-x)-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).L(x)182a2令L′=0得x=6+a或x=12(不合题意,舍去).x3X=123 3≤a≤5,∴8≤6+a≤232328.3yL(x)在x=6+a两侧L′的值由正变负.901229所以①当8≤6+a<9即3≤a<时,32xLmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)=9(6-a).②当9≤6+a≤23289即≤a≤5时,323a9,229(6a),222123Lmax=L(6+a)=(6+a-3-a)[12-(6+a)]=4(3-a).所以Q(a)=33334(31a)3,39a5.2答若3≤a<,则当每件售价为9元时,分公司一年的利润L最大,最大值Q(a)=9(6-a)(万元);若≤a≤5,则当每件售价为(6+a)元时,分公司一年的利润L最大,最大值Q(a)=4(3-a)(万元).922313392★★★★(导函数零点确定,但区间端点不确定引起讨论的典例)例2、已知fxxlnx,gxxaxx232(Ⅰ).求函数fx的单调区间;(Ⅱ).求函数fx在t,t2t0上的最小值;(Ⅲ)对一切的x0,,2fxg'x2恒成立,求实数a的取值范围.解:(Ⅰ)f(x)lnx1,令f''1x0,解得0x1,fx的单调递减区间是0,;ee1),令f'x0,解得x,f(x)的单调递增是(e,e(Ⅱ)(ⅰ)0