第2讲平面向量基本定理及坐标表示[基础题组练]1．已知e1＝(2，1)，e2＝(1，3)，a＝(－1，2)．若a＝λ1e1＋λ2e2，则实数对(λ1，λ2)为()A．(1，1)B．(－1，1)C．(－1，－1)D．(1，－1)解析：选B.因为e1＝(2，1)，e2＝(1，3)，所以a＝λ1e1＋λ2e2＝λ1(2，1)＋λ2(1，3)＝(2λ1＋λ2，λ1＋3λ2)．又因为a＝(－1，2)，所以解得故选B.2.已知向量AC，AD和AB在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若AC＝λAB＋μAD，则λ＋μ等于()A．2B．－2C．3D．－3解析：选A.如图所示，建立平面直角坐标系，则AD＝(1，0)，AC＝(2，－2)，AB＝(1，2)．因为AC＝λAB＋μAD，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，所以解得所以λ＋μ＝2.故选A.3．已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，OA＝(2，4)，OB＝(1，3)，若点E满足OC＝3EC，则点E的坐标为()A.B.C.D.解析：选A.易知OC＝OB－OA＝(－1，－1)，则C(－1，－1)，设E(x，y)，则3EC＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由OC＝3EC知所以所以E.4．(2019·河北衡水中学2月调研)一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若AB＝2AE，AD＝3AF，AM＝λAB－μAC(λ，μ∈R)，则μ－λ＝()A．－B．1C．D．－3解析：选A.AM＝λAB－μAC＝λAB－μ(AB＋AD)＝(λ－μ)AB－μAD＝2(λ－μ)AE－3μAF，因为E，M，F三点共线，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，所以μ－λ＝－，故选A.5．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)，若c∥(2a＋b)，则λ＝________．解析：由题意得2a＋b＝(4，2)，因为c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，所以4λ＝2，得λ＝.答案：6．已知点A(2，3)，B(4，5)，C(7，10)，若AP＝AB＋λAC(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ的值为________．解析：设P(x，y)，则由AP＝AB＋λAC，得(x－2，y－3)＝(2，2)＋λ(5，7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－.答案：－7．已知在△ABC中，点O满足OA＋OB＋OC＝0，点P是OC上异于端点的任意一点，且OP＝mOA＋nOB，则m＋n的取值范围是________．解析：依题意，设OP＝λOC(0<λ<1)，由OA＋OB＋OC＝0知OC＝－(OA＋OB)，所以OP＝－λOA－λOB，由平面向量定理可知，m＋n＝－2λ，所以m＋n∈(－2，0)．答案：(－2，0)8．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？(2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb且A、B、C三点共线，求m的值．解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－.(2)法一：因为A、B、C三点共线，所以AB＝λBC，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，所以，解得m＝.法二：AB＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)，BC＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)．因为A、B、C三点共线，所以AB∥BC.所以8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，所以m＝.[综合题组练]1．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为()A．(2，0)B．(0，－2)C．(－2，0)D．(0，2)解析：选D.因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)，即a＝－2p＋2q＝(2，4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)，所以即所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)．2.如图，在△ABC中，AD＝AC，BP＝BD，若AP＝λAB＋μAC，则λ＋μ的值为()A.B.C.D.解析：选A.因为AP＝AB＋BP，BP＝BD，所以AP＝AB＋BD，因为BD＝AD－AB，AD＝AC，所以BD＝AC－AB，所以AP＝AB＋BD＝AB＋＝AB＋AC，因为AP＝λAB＋μAC，所以λ＝，μ＝，则λ＋μ＝＋＝.3．设OA＝(－2，4)，OB＝(－a，2)，OC＝(b，0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为________．解析：由已知得AB＝(－a＋2，－2)，AC＝(b＋2，－4)，因为A，B，C三点共线，所以(－a＋2，－2)＝λ(b＋2，－4)，即整理得2a＋b＝2，所以＋＝(2a＋b)＝≥＝＋(当且仅当a＝2－，b＝2－2时等号成立)．答案：＋4．给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动．若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值为________．解析：以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(1，0)，B，设∠AOC＝α，则C(cosα，sinα)，由OC＝xOA＋yOB，得所以x＝cosα＋sinα，y＝sinα，所以x＋y＝cosα＋sinα＝2sin，又α∈，所以α＋∈，所以sin∈，故x＋y的最大值为2.答案：2
