思想方法训练4转化与化归思想思想方法训练第8页一、能力突破训练1.已知M={(x,y)|y=x+a},N={(x,y)|x2+y2=2},且M∩N=,⌀则实数a的取值范围是()A.a>2B.a<-2C.a>2或a<-2D.-2
2或a<-2.2.若直线y=x+b被圆x2+y2=1所截得的弦长不小于1,则b的取值范围是()A.[-1,1]B.[-√22,√22]C.[-√32,√32]D.[-√62,√62]答案:D解析:由弦长不小于1可知圆心到直线的距离不大于√32,即|b|√2≤√32,解得-√62≤b≤√62.3.已知P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为[0,π4],则点P横坐标的取值范围为()A.[-1,-12]B.[-1,0]C.[0,1]D.[12,1]答案:A解析:设P(x0,y0),倾斜角为α,则0≤tanα≤1.设y=f(x)=x2+2x+3,则f'(x)=2x+2,0≤2x0+2≤1,-1≤x0≤-12,故选A.4.在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为()A.1B.2C.3D.4答案:C解析:设P(x,y),则{x=cosθ,y=sinθ,x2+y2=1.即点P在单位圆上,点P到直线x-my-2=0的距离可转化为圆心(0,0)到直线x-my-2=0的距离加上(或减去)半径,所以距离最大为d=1+|-2|√1+m2=1+2√1+m2.当m=0时,dmax=3.5.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=3,且f(x)的导数f'(x)在R上恒有f'(x)<2(x∈R),则不等式f(x)<2x+1的解集为()A.(1,+∞)B.(-∞,-1)C.(-1,1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案:A解析:设F(x)=f(x)-2x-1,则F'(x)=f'(x)-2<0,得F(x)在R上是减函数.又F(1)=f(1)-2-1=0,即当x>1时,F(x)<0,不等式f(x)<2x+1的解集为(1,+∞),故选A.6.(2019天津3月九校联考)已知f(x)={x2+1(x≥0),4xcosπx-1(x<0),g(x)=kx-1(x∈R).若函数y=f(x)-g(x)在区间[-2,3]上有4个零点,则实数k的取值范围是()A.(2√3,4)B.(2√3,4]C.(2√2,113)D.(2√2,113]答案:D解析:很明显x=0不是函数的零点,令函数y=f(x)-g(x)=0,则k={x+2x,x>0,4cosπx,x<0.令h(x)={x+2x,x>0,4cosπx,x<0,则函数h(x)的图象与直线y=k在区间[-2,3]上有4个交点,函数h(x)的图象如图所示.由图可得k∈(2√2,113].故选D.7.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.答案:(-13,13)解析:若圆上有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d<1. d=|c|√122+52=|c|13,∴0≤|c|<13,即c∈(-13,13).8.已知函数f(x)=2x-2-x,若不等式f(x2-ax+a)+f(3)>0对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.答案:(-2,6)解析:f(x)=2x-2-x为奇函数且在R上为增函数,所以f(x2-ax+a)+f(3)>0⇒f(x2-ax+a)>-f(3)⇒f(x2-ax+a)>f(-3)⇒x2-ax+a>-3对任意实数x恒成立,即Δ=a2-4(a+3)<0⇒-20.由3×32+3(m+4)-2>0,可得m>-373.由关于t的不等式3t2+(m+4)t-2<0在区间[1,2]上恒成立,即m+4<2t-3t在区间[1,2]上恒成立,解得m+4<-5,即m<-9.故-373g(x)-1e2.(1)解f'(x)=1-axx,x>0.若a≤0,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)内单调递增;若a>0,当x∈(0,1a)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1a,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.(2)证明由(1)知,若a≤0,f(x)在(0,+∞)内单调递增,又f(1)=0,故f(x)≤0不恒成立.若a>1,当x∈(1a,1)时,f(x)单调递减,f(x)>f(1)=0,不符合题意.若0f(1)=0.不符合题意.若a=1,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)内单调递减,f(x)≤f(1)=0,符合题意.故...
