题型练8大题专项(六)函数与导数综合问题题型练第62页1.设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a;(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.解:(1)因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex,所以f'(x)=[2ax-(4a+1)]ex+[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex=[ax2-(2a+1)x+2]ex(x∈R).f'(1)=(1-a)e.由题设知f'(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此时f(1)=3e≠0,所以a的值为1.(2)由(1)得f'(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(x-2)ex.若a>12,则当x∈(1a,2)时,f'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在x=2处取得极小值.若a≤12,则当x∈(0,2)时,x-2<0,ax-1≤12x-1<0,所以f'(x)>0.所以2不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(12,+∞).2.已知f(x)=ax-ln(-x),x∈[-e,0),其中e是自然对数的底数,a∈R.(1)当a=-1时,证明:f(x)+ln(-x)x>12.(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为3?如果存在,求出a的值;如果不存在,请说明理由.(1)证明由题意可知,所证不等式为f(x)>12−ln(-x)x,x∈[-e,0).因为f'(x)=-1-1x=-x+1x,所以当-e≤x<-1时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减;当-10,此时f(x)单调递增.所以f(x)在区间[-e,0)内有唯一极小值f(-1)=1,即f(x)在区间[-e,0)内的最小值为1;令h(x)=12−ln(-x)x,x∈[-e,0),则h'(x)=ln(-x)-1x2,当-e≤x<0时,h'(x)≤0,故h(x)在区间[-e,0)内单调递减,所以h(x)max=h(-e)=1e+12<12+12=1=f(x)min.所以当a=-1时,f(x)+ln(-x)x>12.(2)解假设存在实数a,使f(x)=ax-ln(-x)的最小值为3,f'(x)=a-1x,x∈[-e,0).①若a≥-1e,由于x∈[-e,0),则f'(x)=a-1x≥0,所以函数f(x)=ax-ln(-x)在区间[-e,0)内是增函数,所以f(x)min=f(-e)=-ae-1=3,解得a=-4e<-1e,与a≥-1e矛盾,舍去.②若a<-1e,则当-e≤x<1a时,f'(x)=a-1x<0,此时f(x)=ax-ln(-x)是减函数,当1a0,此时f(x)=ax-ln(-x)是增函数,所以f(x)min=f(1a)=1-ln(-1a)=3,解得a=-e2.综上①②知,存在实数a=-e2,使f(x)的最小值为3.3.已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪(1,32)∪(32,+∞),求c的值.解:(1)f'(x)=3x2+2ax,令f'(x)=0,解得x1=0,x2=-2a3.当a=0时,因为f'(x)=3x2>0(x≠0),所以函数f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增;当a>0时,x∈(-∞,-2a3)∪(0,+∞)时,f'(x)>0,x∈(-2a3,0)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(-∞,-2a3),(0,+∞)内单调递增,在区间(-2a3,0)内单调递减;当a<0时,x∈(-∞,0)∪(-2a3,+∞)时,f'(x)>0,x∈(0,-2a3)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(-∞,0),(-2a3,+∞)内单调递增,在区间(0,-2a3)内单调递减.(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f(-2a3)=427a3+b,则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f(-2a3)=b(427a3+b)<0,从而{a>0,-427a30时,427a3-a+c>0或当a<0时,427a3-a+c<0.设g(a)=427a3-a+c,因为函数f(x)有三个零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪(1,32)∪(32,+∞),则在(-∞,-3)内g(a)<0,且在(1,32)∪(32,+∞)内g(a)>0均恒成立,从而g(-3)=c-1≤0,且g(32)=c-1≥0,因此c=1.此时,f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)[x2+(a-1)x+1-a],因函数有三个零点,则x2+(a-1)x+1-a=0有两个异于-1的不等实根,所以Δ=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-3>0,且(-1)2-(a-1)+1-a≠0,解得a∈(-∞,-3)∪(1,32)∪(32,+∞).综上c=1.4.(2019全国Ⅱ,理20)已知函数f(x)=lnx-x+1x-1.(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x0是f(x)的一个零点,证明曲线y=lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y=ex的切线.(1)解f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞).因为f'(x)=1x+2(x-1)2>0,所以f(x)在区间(0,1),(1,+∞)内单调递增.因为f(e)=1-e+1e-1<0,f(e2)=2-e2+1e2-1=e2-3e2-1>0,所以f(x)在区间(1,+∞)内有唯一零点x1,即f(x1)=0.又0<1x1<1,f1x1=-lnx1+x1+1x1-1=-f(x1)=0,故f(x)在区间(0,1)内有唯一零点1x1.综上,f(x)有且仅有两个零点.(2)证明因为1x0=e-lnx0,故点B-lnx0,1x0在曲线y=ex上.由题设知f(x0)=0,即lnx0=x0+1x0-1,故直线AB的斜率k=1x0-lnx0-lnx0-x0=1x0-x0+1x0-1-x0+1x0-1-x0=1x0.曲线y=ex在点B-lnx0,1x0处切线的斜率是...
