专题能力训练8三角函数的图象与性质专题能力训练第22页一、能力突破训练1.为了得到函数y=sin(2x-π3)的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点()A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度答案:D解析:由题意,为得到函数y=sin(2x-π3)=sin[2(x-π6)],只需把函数y=sin2x的图象上所有点向右平行移动π6个单位长度,故选D.2.已知函数y=sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现2次最大值,则ω的最小值为()A.5π2B.5π4C.πD.3π2答案:A解析:要使y=sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现2次最大值,则在区间[0,1]上至少包含54个周期,故只需要54·2πω≤1,故ω≥5π2.3.(2019全国Ⅱ,理9)下列函数中,以π2为周期且在区间π4,π2单调递增的是()A.f(x)=|cos2x|B.f(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x|D.f(x)=sin|x|答案:A解析:y=|cos2x|的图象为,由图知y=|cos2x|的周期为π2,且在区间π4,π2内单调递增,符合题意;y=|sin2x|的图象为,由图知它的周期为π2,但在区间π4,π2内单调递减,不符合题意;因为y=cos|x|=cosx,所以它的周期为2π,不符合题意;y=sin|x|的图象为,由图知其不是周期函数,不符合题意.故选A.4.若f(x)=cosx-sinx在区间[-a,a]上是减函数,则a的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D.π答案:A解析:f(x)=√2cosx+π4,图象如图所示,要使f(x)在区间[-a,a]上为减函数,a的最大为π4.5.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的图象关于直线x=π3对称,若它的最小正周期为π,则函数f(x)的图象的一个对称中心是()A.(π3,1)B.(π12,0)C.(5π12,0)D.(-π12,0)答案:B解析:由题意知T=π,则ω=2.由函数图象关于直线x=π3对称,得2×π3+φ=π2+kπ(k∈Z),即φ=-π6+kπ(k∈Z). |φ|<π2,∴φ=-π6,∴f(x)=Asin(2x-π6).令2x-π6=kπ(k∈Z),则x=π12+kπ2(k∈Z).∴函数f(x)的图象的一个对称中心为(π12,0).故选B.6.已知函数f(x)=5sinx-12cosx,当x=x0时,f(x)有最大值13,则tanx0=.答案:-512解析:f(x)=5sinx-12cosx=13sin(x-θ)(cosθ=513,sinθ=1213).当x=x0时,f(x)有最大值13,所以x0-θ=π2+2kπ,k∈Z,所以x0=θ+π2+2kπ,tanx0=tanθ+π2+2kπ=tan(θ+π2)=1-tanθ=cosθ-sinθ=-512.7.定义一种运算:(a1,a2)(⊗a3,a4)=a1a4-a2a3,将函数f(x)=(√3,2sinx)(cos⊗x,cos2x)的图象向左平移n(n>0)个单位长度所得图象对应的函数为偶函数,则n的最小值为.答案:5π12解析:f(x)=√3cos2x-2sinxcosx=√3cos2x-sin2x=2cos(2x+π6),将f(x)的图象向左平移n个单位长度对应的函数解析式为f(x)=2cos2(x+n)+π6=2cos(2x+2n+π6),要使它为偶函数,则需要2n+π6=kπ(k∈Z),所以n=kπ2−π12(k∈Z).因为n>0,所以当k=1时,n有最小值5π12.8.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,则f(x)=.答案:√2sin(π8x+π4)解析:由题意得A=√2,函数的周期为T=16. T=2πω,∴ω=π8,此时f(x)=√2sin(π8x+φ).由f(2)=√2,即sin(π8×2+φ)=sin(π4+φ)=1,则π4+φ=2kπ+π2,k∈Z,解得φ=2kπ+π4,k∈Z. |φ|<π2,∴φ=π4,∴函数的解析式为f(x)=√2sin(π8x+π4).9.已知函数f(x)=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点(π3,0),则函数g(x)=λsinxcosx+sin2x的图象的一条对称轴是.(写出其中的一条即可)答案:x=-π3(答案不唯一)解析:将点(π3,0)代入f(x)=sinx+λcosx,得λ=-√3.g(x)=-√3sinxcosx+sin2x=-√32sin2x+12−12cos2x=12-sin(2x+π6),令2x+π6=kπ+π2,k∈Z,得x=kπ2+π6,k∈Z.由k=-1,得x=-π3.10.已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2√3sinxcosx(x∈R).(1)求f(2π3)的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解:(1)由sin2π3=√32,cos2π3=-12,f(2π3)=(√32)2−(-12)2-2√3×√32×(-12),得f(2π3)=2.(2)由cos2x=cos2x-sin2x与sin2x=2sinxcosx得f(x)=-cos2x-√3sin2x=-2sin(2x+π6).所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z,解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z,所以,f(x)的单调递增区间是[π6+kπ,2π3+kπ](k∈Z).11.已知函数f(x)=sin2x-sin2(x-π6),x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-π3,π4]上的最大值和最小值....
