专题能力训练10等差数列与等比数列专题能力训练第26页一、能力突破训练1.在等差数列{an}中,a4+a10+a16=30,则a18-2a14的值为()A.20B.-20C.10D.-10答案:D解析:因为a4+a10+a16=30,所以3a10=30,即a10=10,所以a18-2a14=-a10=-10.故选D.2.在各项均为正数的等比数列{an}中,若log2(a2·a3·a5·a7·a8)=5,则a1·a9=()A.4B.5C.2D.25答案:A解析:由题意得log2(a2·a3·a5·a7·a8)=log2a55=5log2a5=5,所以a5=2.所以a1·a9=a52=4.故选A.3.设{an}是等比数列,Sn是{an}的前n项和.对任意正整数n,有an+2an+1+an+2=0,又a1=2,则S101的值为()A.2B.200C.-2D.0答案:A解析:设公比为q, an+2an+1+an+2=0,∴a1+2a2+a3=0,∴a1+2a1q+a1q2=0,∴q2+2q+1=0,∴q=-1.又a1=2,∴S101=a1(1-q101)1-q=2[1-(-1)101]1+1=2.4.已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d>0,dS4>0B.a1d<0,dS4<0C.a1d>0,dS4<0D.a1d<0,dS4>0答案:B解析:设{an}的首项为a1,公差为d,则a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d. a3,a4,a8成等比数列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即3a1d+5d2=0. d≠0,∴a1d=-53d2<0,且a1=-53d. dS4=4d(a1+a4)2=2d(2a1+3d)=-23d2<0,故选B.5.中国古代数学专著《九章算术》中有这样一题:今有男子善走,日增等里,九日走1260里,第一日、第四日、第七日所走之和为390里,则该男子第三日走的里数为.答案:120解析:由男子善走,日增等里,可知每天走的里数符合等差数列,设这个等差数列为{an},其公差为d,前n项和为Sn.根据题意可知,S9=1260,a1+a4+a7=390,(方法一)S9=9(a1+a9)2=9a5=1260,∴a5=140.a1+a4+a7=3a4=390,∴a4=130,∴d=a5-a4=10,∴a3=a4-d=120.(方法二){S9=1260,a1+a4+a7=390,即{9a1+9×82d=1260,a1+a1+3d+a1+6d=390,解得{a1=100,d=10,∴a3=a1+2d=120.6.已知各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,S10=40,则a3·a8的最大值为.答案:16解析:因为S10=10(a1+a10)2=40⇒a1+a10=a3+a8=8,a3>0,a8>0,所以a3·a8≤(a3+a82)2=(82)2=16,当且仅当a3=a8=4时取等号.7.设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为.答案:64解析:由已知a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5,两式相除得a1+a3q(a1+a3)=105,解得q=12,a1=8,所以a1a2…an=8n·(12)1+2+…+(n-1)=2-12n2+7n2,抛物线f(n)=-12n2+72n的对称轴为直线n=-722×(-12)=3.5,又n∈N*,所以当n=3或4时,a1a2…an取最大值为2-12×32+7×32=26=64.8.设x,y,z是实数,若9x,12y,15z成等比数列,且1x,1y,1z成等差数列,则xz+zx=.答案:3415解析:由题意知{(12y)2=9x×15z,2y=1x+1z,解得xz=1229×15y2=1615y2,x+z=3215y,从而xz+zx=x2+z2xz=(x+z)2-2xzxz=(x+z)2xz-2=(3215)2y21615y2-2=3415.9.已知Sn为数列{an}的前n项和,且a2+S2=31,an+1=3an-2n(n∈N*).(1)求证:{an-2n}为等比数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn.(1)证明由an+1=3an-2n可得an+1-2n+1=3an-2n-2n+1=3an-3·2n=3(an-2n).又a2=3a1-2,则S2=a1+a2=4a1-2,得a2+S2=7a1-4=31,得a1=5,则a1-21=3≠0.故{an-2n}为等比数列.(2)解由(1)可知an-2n=3n-1(a1-2)=3n,∴an=2n+3n,∴Sn=2(1-2n)1-2+3(1-3n)1-3=2n+1+3n+12−72.10.记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解:(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以{an}的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.11.已知数列{an}是等比数列.设a2=2,a5=16.(1)若a1+a2+…+a2n=t(a12+a22+…+an2),n∈N*,求实数t的值;(2)若在1a1与1a4之间插入k个数b1,b2,…,bk,使得1a1,b1,b2,…,bk,1a4,1a5成等差数列,求k的值.解:设等比数列{an}的公比为q,由a2=2,a5=16,得q=2,a1=1.(1) a1+a2+…+a2n=t(a12+a22+…+an2),∴a1(1-q2n)1-q=t·a12(1-q2n)1-q2,即1-22n1-2=t·1-22n1-4对n∈N*都成立,∴t=3.(2) 1a1=1,1a4=18,1a5=116,且1a1,b1,b2,…,bk,1a4,1a5成等差数列,∴公差d=1a5−1a4=-116,且1a4−1a1=(k+1)d,即18-1=(k+1)×(-116),解得k=13.二、思维提升训练12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软...
