专题能力训练15直线与圆专题能力训练第36页一、能力突破训练1.已知圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为()A.(x-32)2+y2=254B.(x+34)2+y2=2516C.(x-34)2+y2=2516D.(x-34)2+y2=254答案:C解析:因为圆心在x轴的正半轴上,排除B;代入点A(0,1),排除A,D.故选C.2.若直线x-2y-3=0与圆C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则△ECF的面积为()A.32B.2√5C.3√55D.34答案:B解析:由题意知圆心坐标为C(2,-3),半径为r=3,则△ECF的高h为圆心到直线的距离d=|2+2×3-3|√1+(-2)2=√5,底边长为l=2√r2-d2=2√9-5=4,所以S△ECF=12×4×√5=2√5,故选B.3.已知直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6]B.[4,8]C.[√2,3√2]D.[2√2,3√2]答案:A解析:设圆心到直线AB的距离d=|2+0+2|√2=2√2.点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即√2≤d'≤3√2.又|AB|=2√2,∴S△ABP=12·|AB|·d'=√2d',∴2≤S△ABP≤6.4.已知实数a,b满足a2+b2-4a+3=0,函数f(x)=asinx+bcosx+1的最大值记为φ(a,b),则φ(a,b)的最小值是()A.1B.2C.√3+1D.3答案:B解析:由题意知φ(a,b)=√a2+b2+1,且a,b满足a2+b2-4a+3=0,即点(a,b)在圆C:(a-2)2+b2=1上,圆C的圆心为(2,0),半径为1,√a2+b2表示圆C上的动点(a,b)到原点的距离,最小值为1,所以φ(a,b)的最小值为2.故选B.5.已知两条直线l1:x+ay-1=0和l2:2a2x-y+1=0.若l1⊥l2,则a=.答案:0或12解析:当a=0时,l1⊥l2;当a≠0时,由-1a·2a2=-1,解得a=12,所以a=0或a=12.6.已知圆(x-a)2+(y-b)2=r2的圆心为抛物线y2=4x的焦点,且直线3x+4y+2=0与该圆相切,则该圆的方程为.答案:(x-1)2+y2=1解析:因为抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),所以a=1,b=0.又根据|3×1+4×0+2|√32+42=1=r,所以圆的方程为(x-1)2+y2=1.7.(2019天津十二重点中学联考(二))已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,且y轴和直线3x+4y+4=0均与圆C相切,则圆C的方程为.答案:(x-2)2+y2=4解析:设圆C的方程为(x-a)2+y2=a2(a>0). 直线3x+4y+4=0与圆C相切,∴|3a+4|√32+42=a,解得a=2(舍去负值).故圆C的方程为(x-2)2+y2=4.8.已知P是抛物线y2=4x上的动点,过点P作抛物线准线的垂线,垂足为M,N是圆(x-2)2+(y-5)2=1上的动点,则|PM|+|PN|的最小值是.答案:√26-1解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆(x-2)2+(y-5)2=1的圆心为C(2,5),根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而推断出当P,C,F三点共线时,点P到点C的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为|FC|=√(2-1)2+(5-0)2=√26,故|PM|+|PN|的最小值是|FC|-1=√26-1.9.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-√3y=4相切.(1)求圆O的方程;(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2√3,求直线MN的方程;(3)设圆O与x轴相交于A,B两点,若圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求⃗PA·⃗PB的取值范围.解:(1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-√3y=4的距离,即r=4√1+3=2.所以圆O的方程为x2+y2=4.(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=|m|√5.由垂径定理,得m25+(√3)2=22,即m=±√5.所以直线MN的方程为2x-y+√5=0或2x-y-√5=0.(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得√(x+2)2+y2·√(x-2)2+y2=x2+y2,即x2-y2=2.因为⃗PA·⃗PB=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1),且点P在圆O内,所以{0≤x2+y2<4,x2-y2=2.由此得0≤y2<1.所以⃗PA·⃗PB的取值范围为[-2,0).10.已知圆O:x2+y2=4,点A(√3,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.解:(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+12|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取点A关于y轴的对称点A',连接A'B,则|A'B|=2|OM|,所以|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4>|A'A|.所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=√3,b=1,故曲线Γ的方程为x24+y2=1.(2)连接OB.因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,即⃗OB⊥⃗AB.设B(x0,y0),则x0(x0-√3)+y02=0.又x024+y02=1,解得x0=2√3,y0=±√2√3.则kOB=±√2...
