第二节函数的单调性与最值A组基础题组1.已知函数f(x)=❑√x2-2x-3,则该函数的单调递增区间为()A.(-∞,1]B.[3,+∞)C.(-∞,-1]D.[1,+∞)答案B设t=x2-2x-3,由t≥0得x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3.所以函数的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为直线x=1,所以函数t在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞).2.定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(x)在(-∞,2)上是增函数,则()A.f(-1)
f(3)C.f(-1)=f(3)D.f(0)=f(3)答案A依题意得f(3)=f(1),因为-1<1<2,函数f(x)在(-∞,2)上是增函数,所以f(-1)1对任意的x1≠x2都有(x1-x2)[f(x2)-f(x1)]>0成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,3]B.(-∞,3)C.(3,+∞)D.[1,3)答案D由(x1-x2)[f(x2)-f(x1)]>0,得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,所以函数f(x)在R上单调递减,所以{a-3<0,3(a-3)+2≥-4a,解得1≤a<3.故选D.5.函数y=❑√x-x(x≥0)的最大值为.答案14解析令t=❑√x,则t≥0,y=t-t2=-(t-12)2+14,当t=12,即x=14时,ymax=14.6.设函数f(x)={1,x>0,0,x=0,-1,x<0,g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的递减区间是.答案[0,1)解析易知g(x)={x2,x>1,0,x=1,-x2,x<1.画出g(x)的图象如图所示,其递减区间是[0,1).7.若函数f(x)=1x在区间[2,a]上的最大值与最小值的和为34,则a=.答案4解析易知f(x)=1x在(0,+∞)上是减函数,∵[2,a]⊆(0,+∞),∴f(x)=1x在[2,a]上也是减函数,∴f(x)max=f(2)=12,f(x)min=f(a)=1a,∴12+1a=34,∴a=4.8.已知函数f(x)=1a-1x(a>0,x>0).(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;(2)若f(x)在[12,2]上的值域是[12,2],求a的值.解析(1)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x2>x1,则x2-x1>0,x1x2>0,f(x2)-f(x1)=(1a-1x2)-(1a-1x1)=1x1-1x2=x2-x1x1x2>0,∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.(2)∵f(x)在[12,2]上的值域是[12,2],f(x)在[12,2]上单调递增,∴f(12)=12,f(2)=2.易得a=25.9.判断并证明函数f(x)=ax2+1x(其中10,20,故f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),故当a∈(1,3)时,f(x)在[1,2]上单调递增.B组提升题组1.(2019山东青岛模拟)若f(x)=-x2+4mx与g(x)=2mx+1在区间[2,4]上都是减函数,则m的取值范围是()A.(-∞,0)∪(0,1]B.(-1,0)∪(0,1]C.(0,+∞)D.(0,1]答案D函数f(x)=-x2+4mx的图象开口向下,且以直线x=2m为对称轴,若在区间[2,4]上是减函数,则2m≤2,解得m≤1;g(x)=2mx+1的图象由y=2mx的图象向左平移一个单位长度得到,若在区间[2,4]上是减函数,则2m>0,解得m>0.综上可得,m的取值范围是(0,1].故选D.2.(2018甘肃肃南调研)已知函数f(x)=lnx+2x,若f(x2-4)<2,则实数x的取值范围是.答案(-❑√5,-2)∪(2,❑√5)解析因为函数f(x)=lnx+2x在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=ln1+2=2,所以由f(x2-4)<2得f(x2-4)0),且f(x)在[0,1]上的最小值为g(a),求g(a)的最大值.解析f(x)=(a-1a)x+1a,当a>1时,a-1a>0,此时f(x)在[0,1]上为增函数,∴g(a)=f(0)=1a.当00且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.解析(1)证明:任取x1,x2∈(-∞,-2),且x10,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)0,x2-x1>0,又由题意知f(x1)-f(x2)>0,所以(x1-a)(x2-a)>0在(1,+∞)上恒成立,所以a≤1.所以0
