加课练(1)——函数的图象与性质A组基础题组1.下列函数中,是奇函数且在(0,1)内是减函数的是()①f(x)=-x3;②f(x)=(12)|x|;③f(x)=-sinx;④f(x)=xe|x|.A.①③B.①④C.②③D.③④答案A对于①,f(-x)=-(-x)3=x3=-f(x),且在(0,1)内,若x1
f(x2),故①满足题意;对于②,f(-x)=(12)|-x|=(12)|x|=f(x),则f(x)是偶函数,故②不满足题意;对于③,f(-x)=-sin(-x)=sinx=-f(x),且在(0,1)内,若x1f(x2),故③满足题意;对于④,f(-x)=-xe|-x|=-xe|x|=-f(x),但f(x)在(0,1)内是增函数,故④不满足题意.综上,选A.2.(2019四川成都模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+32)=f(x),当x∈(0,12]时,f(x)=log12(1-x),则f(x)在区间(1,32)上是()A.减函数且f(x)>0B.减函数且f(x)<0C.增函数且f(x)>0D.增函数且f(x)<0答案D当x∈(0,12]时,由f(x)=log12(1-x)可知f(x)单调递增且f(x)>0,又函数f(x)为奇函数,所以在区间[-12,0)上函数f(x)也单调递增,且f(x)<0.由f(x+32)=f(x)知,32为函数f(x)的周期,所以在区间(1,32)上,函数f(x)单调递增且f(x)<0.故选D.3.函数y=sinx-1x的图象大致是()答案B函数y=sinx-1x是奇函数,排除D.因为y'=cosx+1x2,当x∈(0,π2)时,y'>0,所以函数y=sinx-1x在区间(0,π2)上是增函数,排除A,C.故选B.4.若定义在R上的函数f(x)存在有限个非零自变量x,使得f(-x)=f(x),则称f(x)为类偶函数.下列函数中为类偶函数的是()A.f(x)=cosxB.f(x)=sinxC.f(x)=x2-2xD.f(x)=x3-2x答案DA中函数为偶函数,则在定义域内均满足f(x)=f(-x),不符合题意;B中,当x=kπ(k∈Z)时,满足f(x)=f(-x),不符合题意;C中,由f(x)=f(-x),得x2-2x=x2+2x,解得x=0,不符合题意;D中,由f(x)=f(-x),得x3-2x=-x3+2x,解得x=0或x=±❑√2,满足题意,故选D.5.(2018贵州贵阳第一学期检测)已知函数f(x)=2xx-1,则下列结论正确的是()A.函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称B.函数f(x)在(-∞,1)上是增函数C.函数f(x)的图象上至少存在两点A,B,使得直线AB∥x轴D.函数f(x)的图象关于直线x=1对称答案A因为f(x)=2xx-1=2(x-1)+2x-1=2x-1+2,所以该函数图象可以由y=2x的图象向右平移1个单位长度,向上平移2个单位长度得到,所以函数f(x)的图象关于点(1,2)中心对称,A正确,D错误;易知函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,故B错误.易知函数f(x)的图象是由y=2x的图象平移得到的,所以不存在两点A,B使得直线AB∥x轴,C错误.故选A.6.已知函数f(x)为偶函数,且函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,若g(3)=2,则f(-2)=.答案3解析因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,且g(3)=2,所以f(2)=3.因为函数f(x)为偶函数,所以f(-2)=f(2)=3.7.使log2(-x)0,0,x=0,x2+mx,x<0是奇函数.(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.解析(1)设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.(2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增,结合f(x)的图象(如图所示)知{a-2>-1,a-2≤1,所以10.(1)作出函数f(x)的图象;(2)写出函数f(x)的单调区间;(3)当x∈[0,1]时,由图象写出f(x)的最小值.解析(1)f(x)={x(x-a),x≥0,-x(x-a),x<0,其图象如图所示.(2)由图知,f(x)的单调递增区间是(-∞,0),(a2,+∞);单调递减区间是(0,a2).(3)由图象知,当a2>1,即a>2时,所求最小值f(x)min=f(1)=1-a;当02).B组提升题组1.(2019湖北武汉模拟)已知f(x)=2x-1,g(x)=1-x2.规定:当|f(x)|≥g(x)时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)|
